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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - stetig partiell differenzierba
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stetig partiell differenzierba: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Mi 27.04.2016
Autor: nightsusi

Aufgabe
Sei [mm] f:R^2->R [/mm] gegeben durch:
[mm] f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}), & \mbox{für } (x,y) \not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) =(0,0) \end{cases} [/mm]

Zeigen Sie dass f differenzierbar ist, aber in (0,0) nicht stetig partiell differenzierbar.

Hi, wäre nett, wenn Ihr mich bei dieser Aufgabe unterstützen würdet:

Meine bisherigen Überlegungen sind:

Für [mm] x\not=(0,0) [/mm] gilt:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xsin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})-\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}*cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}) [/mm]

[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=2ysin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})-\bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}}*cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}) [/mm]

Für x=(0,0) gilt:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=0 [/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=0 [/mm]

Ist es ausreichend für Differenzierbarkeit zusätzlich noch zu zeigen:

[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}=\bruch{f(x,y)-f(0,0)-\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)(x-0)-\bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)(y-0)}{||(x,y)-(0,0)||}=0 [/mm]


[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}=\bruch{f(x,y)-f(0,0)}{||(x,y)-(0,0)||}=0 [/mm]

[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}=\bruch{f(x,y)}{||(x,y)||}=0 [/mm]

[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}= \bruch{(x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})}{\wurzel{x^2y^2}}=0 [/mm]


[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}= \wurzel(x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})=0, [/mm] da [mm] \wurzel{x^2+y^2}\to0 [/mm]

Ist das soweit korrekt? Doch wie zeige ist jetzt das f nicht stetig partiell diffbar ist?

LG Susi


        
Bezug
stetig partiell differenzierba: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Mi 27.04.2016
Autor: fred97


> Sei [mm]f:R^2->R[/mm] gegeben durch:
>  [mm]f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}), & \mbox{für } (x,y) \not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) =(0,0) \end{cases}[/mm]
>  
> Zeigen Sie dass f differenzierbar ist, aber in (0,0) nicht
> stetig partiell differenzierbar.
>  Hi, wäre nett, wenn Ihr mich bei dieser Aufgabe
> unterstützen würdet:
>  
> Meine bisherigen Überlegungen sind:
>  
> Für [mm]x\not=(0,0)[/mm] gilt:
>  [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xsin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})-\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}*cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})[/mm]
>  
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=2ysin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})-\bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}}*cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})[/mm]

Soweit O.K.


>  
> Für x=(0,0) gilt:
>  [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=0[/mm]
>  [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=0[/mm]

Auch das ist richtig, Du solltest aber noch erzählen , warum diese Ableitungen =0 sind.






>  
> Ist es ausreichend für Differenzierbarkeit zusätzlich
> noch zu zeigen:

Das Folgende musst(!) Du zeigen, wenn Du zeigen willst , dass f in (0,0) differenzierbar ist.


>  
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}=\bruch{f(x,y)-f(0,0)-\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)(x-0)-\bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)(y-0)}{||(x,y)-(0,0)||}=0[/mm]
>  
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}=\bruch{f(x,y)-f(0,0)}{||(x,y)-(0,0)||}=0[/mm]
>  
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}=\bruch{f(x,y)}{||(x,y)||}=0[/mm]
>  
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}= \bruch{(x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})}{\wurzel{x^2y^2}}=0[/mm]


Hier hast Du Dich verschrieben. Im Nenner sollte [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] stehen.


>  
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}= \wurzel(x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})=0,[/mm]
> da [mm]\wurzel{x^2+y^2}\to0[/mm]
>  
> Ist das soweit korrekt?


Ja schon , aber die Begründung " da [mm]\wurzel{x^2+y^2}\to 0[/mm] " reicht nicht.





> Doch wie zeige ist jetzt das f
> nicht stetig partiell diffbar ist?

Zeige: die partiellen Ableitungen [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] sind in (0,0) nicht stetig.

FRED

>  
> LG Susi
>  


Bezug
                
Bezug
stetig partiell differenzierba: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:42 Do 28.04.2016
Autor: nightsusi


> > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}= \wurzel(x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})=0,[/mm]
> > da [mm]\wurzel{x^2+y^2}\to0[/mm]
>  >  
> > Ist das soweit korrekt?
>
>
> Ja schon , aber die Begründung " da [mm]\wurzel{x^2+y^2}\to 0[/mm]
> " reicht nicht.
>  

Schade, dass es nicht ausreicht, da muss ich dann wohl mit Polarkoordinaten ran, oder?

Mit [mm] x=rcos(\phi) [/mm] und [mm] y=rsin(\phi) [/mm] ergibt sich dann nach ein paar kleinen Umformungen und der Tatsache, dass [mm] sin^2+cos^2=1 [/mm] ist:

[mm] \limes_{r\rightarrow 0} [/mm] r*sin(1/r)=0

>
>
>
>
> > Doch wie zeige ist jetzt das f
> > nicht stetig partiell diffbar ist?
>  
> Zeige: die partiellen Ableitungen [mm]f_x[/mm] und [mm]f_y[/mm] sind in (0,0)
> nicht stetig.

D.h. ich muss nur noch zeigen dass z.B.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] der partiellen Ableitungen
[mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] mit (1/n,1/n) ungleich 0 ist, oder?

Bezug
                        
Bezug
stetig partiell differenzierba: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 Do 28.04.2016
Autor: fred97


> > > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}= \wurzel(x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})=0,[/mm]
> > > da [mm]\wurzel{x^2+y^2}\to0[/mm]
>  >  >  
> > > Ist das soweit korrekt?
> >
> >
> > Ja schon , aber die Begründung " da [mm]\wurzel{x^2+y^2}\to 0[/mm]
> > " reicht nicht.
>  >  
>
> Schade, dass es nicht ausreicht, da muss ich dann wohl mit
> Polarkoordinaten ran, oder?
>  
> Mit [mm]x=rcos(\phi)[/mm] und [mm]y=rsin(\phi)[/mm] ergibt sich dann nach ein
> paar kleinen Umformungen und der Tatsache, dass
> [mm]sin^2+cos^2=1[/mm] ist:
>  
> [mm]\limes_{r\rightarrow 0}[/mm] r*sin(1/r)=0

Und warum ist dieser Grenzwert =0 ?

Es geht auch ohne Polarkoordinaten, denn [mm] $|\sin(blabla)| \le [/mm] 1$  für jedes blabla.


>  
> >
> >
> >
> >
> > > Doch wie zeige ist jetzt das f
> > > nicht stetig partiell diffbar ist?
>  >  
> > Zeige: die partiellen Ableitungen [mm]f_x[/mm] und [mm]f_y[/mm] sind in (0,0)
> > nicht stetig.
>  
> D.h. ich muss nur noch zeigen dass z.B.
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] der partiellen Ableitungen
> [mm]f_x[/mm] und [mm]f_y[/mm] mit (1/n,1/n) ungleich 0 ist, oder?

Ja, finde eine Folge [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] mit [mm] (x_n,y_n) \to [/mm] (0,0) derart, dass entweder [mm] (f_x(x_n,y_n)) [/mm] keine Nullfolge ist oder  [mm] (f_y(x_n,y_n)) [/mm] keine Nullfolge ist.


Ob ( (1/n,1/n)) das Gewünschte leistet , solltest Du ausprobieren, wenn nicht , so suche weiter.

FRED

Bezug
                                
Bezug
stetig partiell differenzierba: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:28 Do 28.04.2016
Autor: nightsusi

DANKE für die schnelle Hilfe!
Beim Durchrrechnen hab ich dann doch lieber [mm] \bruch{\wurzel{2}}{n} [/mm] genommen, damit sich das im Nenner schöner zusammenfassen lässt. :-)

Einen schönen Tag noch!

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