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sin(x) eine Sobolev Funktion: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 08:06 Mi 10.09.2014
Autor: Samyy

Hallo,

ich möchte gerne zeigen, dass die Funktion [mm] $\sin(x):(0,\pi)\rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] eine Funktion in [mm] $H^1_0(0,\pi) [/mm] := [mm] W^{1,2}_0(0,\pi)$ [/mm] ist (wenn das denn überhaupt stimmt.).

Per Definition muss ich doch eine Folge von Funktionen [mm] $f_n\in C^{\infty}_c(0,\pi)$ [/mm] finden, welche in der Norm [mm] $\Vert\cdot\Vert_{W^{1,2}(0,\pi)}$ [/mm] gegen sin(x) konvergiert. Aber leider weis ich nicht genau, wie ich da rangehen soll. Habt ihr vielleicht eine Idee, wie man das macht?

Viele Grüße

        
Bezug
sin(x) eine Sobolev Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:12 Mi 10.09.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> ich möchte gerne zeigen, dass die Funktion
> [mm]\sin(x):(0,\pi)\rightarrow \mathbb{R}[/mm] eine Funktion in
> [mm]H^1_0(0,\pi) := W^{1,2}_0(0,\pi)[/mm] ist (wenn das denn
> überhaupt stimmt.).

kannst Du (für mich jedenfalls) nochmal kurz dazuschreiben, wie

   [mm] $W^{1,2}_0(0,\pi)$ [/mm]

definiert ist?

Ich habe das gerade nicht mehr im Kopf...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
sin(x) eine Sobolev Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:42 Mi 10.09.2014
Autor: Samyy

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Marcel,

Klar kann ich das machen! Der Raum $W^{1, 2}_0 (0,\pi)$ ist der Abschluss von $C^{\infty}_c (0,\pi)$ (=Der raum der glatten funktionen mit kompaktem träger im intervall (0,\pi)) bzgl. der Norm $\Vert f\Vert:=\left ( \Vert f\Vert_{L^2 (0,\pi)}+ \Vert \frac {df}{dx}\Vert_{L^2(0,\pi)}\right)^{\frac {1}{2}}$.

Reicht das als definition? Falls noch was unklar sein sollte, sag bitte einfach bescheid.:-)

Es geht also darum, die sinusfunktion durch glatte funktionen mit kompaktem träger bzgl. Obiger norm zu approximieren

Bezug
                        
Bezug
sin(x) eine Sobolev Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:42 Mi 10.09.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Marcel,
>  
> Klar kann ich das machen! Der Raum [mm]W^{1, 2}_0 (0,\pi)[/mm] ist
> der Abschluss von [mm]C^{\infty}_c (0,\pi)[/mm] (=Der raum der
> glatten funktionen mit kompaktem träger im intervall
> [mm](0,\pi))[/mm] bzgl. der Norm [mm]\Vert f\Vert:=\left ( \Vert f\Vert_{L^2 (0,\pi)}+ \Vert \frac {df}{dx}\Vert_{L^2(0,\pi)}\right)^{\frac {1}{2}}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

.

>  
> Reicht das als definition? Falls noch was unklar sein
> sollte, sag bitte einfach bescheid.:-)

ne, das ist okay. War mir halt nicht mehr geläufig.

> Es geht also darum, die sinusfunktion durch glatte
> funktionen mit kompaktem träger bzgl. Obiger norm zu
> approximieren

Vielleicht kann man sowas wie

    $f_n:=\left. I \right_{[1/n,\;\pi-1/n]}*\left.\sin\right|_{(0,\;\pi)}$

entsprechend modifizieren (hier sind die "Grenzen" $1/n$ bzw. $\pi-1/n$ ja ein
Problem bzgl. der *Glattheit* - die $f_n$ sind also nicht in $C^\infty(0,\;\pi)$).

$I\,$ ist die Indikatorfunktion (auf $(0,\;\pi)$ - das soll auch der Def.-Ber. der $f_n$ sein).

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
sin(x) eine Sobolev Funktion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:20 Fr 12.09.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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