matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenZahlentheorieprime Restklassengruppen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Zahlentheorie" - prime Restklassengruppen
prime Restklassengruppen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

prime Restklassengruppen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:32 Mi 18.05.2016
Autor: fugit

Aufgabe
$(a)$ Bestimmen Sie einen expliziten Erzeuger (ein sogenanntes primitives Element) von [mm] $(\IZ/p^6\IZ)^{\*}$ [/mm]  für die Primzahlen $p = 3,5,7$.

$(b)$ Bestimmen Sie die Struktur und ein minimales Erzeugendensystem der Gruppen [mm] $(\IZ/m\IZ)^{\*}$ [/mm] für $m=40,50,60.$

$(c)$ Bestimmen Sie Erzeuger der Gruppen [mm] $(\IZ/16\IZ)^{\*}$ [/mm] und [mm] $(\IZ/32\IZ)^{\*}$. [/mm]

$(d)$ Beweisen Sie, dass für $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt [mm] $(\IZ/2^n\IZ)^{\*} \cong C_2 \times C_{2^{n-2}}$ [/mm] .

a)

Vorweg:

Sei $a$ das erzeugende Element einer zyklischen Gruppe $G$ . Es ist [mm] $a^r$ [/mm] mit $ r [mm] \in \IZ$ [/mm] ein erzeugendes Element [mm] $\gdw [/mm] ggT(r,n)=1$

Außerdem ist die ordnung eines Elements immer ein Teiler der Gruppenordnung.

[mm] $(\IZ/3^6\IZ)^{\*}=(\IZ/729\IZ)^{\*}$ [/mm]

Diese gruppe bestitz nun 728 Elemente und 728 kann ich primfaktorisieren in 728=2*2*2*7*13

,aber ich komme irgendwie auch nicht mit den vorab bemerkungen ans Ziel..:/



b) versteh ich die aufgaben stellung gar nicht..:/

        
Bezug
prime Restklassengruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Mi 18.05.2016
Autor: hippias


> [mm](a)[/mm] Bestimmen Sie einen expliziten Erzeuger (ein
> sogenanntes primitives Element) von [mm](\IZ/p^6\IZ)^{\*}[/mm]  für
> die Primzahlen [mm]p = 3,5,7[/mm].
>  
> [mm](b)[/mm] Bestimmen Sie die Struktur und ein minimales
> Erzeugendensystem der Gruppen [mm](\IZ/m\IZ)^{\*}[/mm] für
> [mm]m=40,50,60.[/mm]
>  
> [mm](c)[/mm] Bestimmen Sie Erzeuger der Gruppen [mm](\IZ/16\IZ)^{\*}[/mm] und
> [mm](\IZ/32\IZ)^{\*}[/mm].
>  
> [mm](d)[/mm] Beweisen Sie, dass für [mm]n \ge 2[/mm] gilt [mm](\IZ/2^n\IZ)^{\*} \cong C_2 \times C_{2^{n-2}}[/mm]
> .
>  a)
>  
> Vorweg:
>  
> Sei [mm]a[/mm] das erzeugende Element einer zyklischen Gruppe [mm]G[/mm] . Es
> ist [mm]a^r[/mm] mit [mm]r \in \IZ[/mm] ein erzeugendes Element [mm]\gdw ggT(r,n)=1[/mm]
>  
> Außerdem ist die ordnung eines Elements immer ein Teiler
> der Gruppenordnung.
>  
> [mm](\IZ/3^6\IZ)^{\*}=(\IZ/729\IZ)^{\*}[/mm]
>  
> Diese gruppe bestitz nun 728 Elemente und 728 kann ich
> primfaktorisieren in 728=2*2*2*7*13

>
Das ist eine falsche Annahme, bzw. waere wahr, wenn [mm] $\/Z/3^{6}\IZ$ [/mm] ein Köper wäre. Finde daher ersteinmal die richtige Gruppenordnung heraus.

Mein Tip zum eigentlichen Problem: Ausprobieren! Bilde von verschiedenen Elementen Potenzen bis $1$ herauskommt; Du wirst bald fündig werden. Es kann auch lohnend die ausprobierten Elemente zu kombinieren: angenommen $a$ hat die Ordung $8$ und $b$ die Ordnung $5$, dann hat $ab$ schon die Ordnung $40$.
  

> ,aber ich komme irgendwie auch nicht mit den vorab
> bemerkungen ans Ziel..:/
>  
>
>
> b) versteh ich die aufgaben stellung gar nicht..:/

Dann wirst Du dafür keine Punkte bekommen... wobei ich aber vermute, dass Du sehr wohl Erzeugendensystem und minimales Erzeugendensystem verstehst.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]