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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - maximale lineare Teilmengen
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maximale lineare Teilmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Sa 14.04.2018
Autor: tynia

Hallo zusammen,

ich bräuchte einen Denkanstoß zu folgender Aufgabe:

Bestimme alle maximalen linear unabhängigen Teilmengen der Menge
[mm] {\vektor{1\\2\\-1},\vektor{2\\1\\-1},\vektor{-2\\-4\\2},\vektor{1\\-1\\0},\vektor{-1\\-5\\2}} [/mm]

Muss ich dafür jetzt alle Kombinationen der Vektoren auf Lineare Unabhängigkeite prüfen? Und wie gehe ich bei der Lösung am besten vor.

Danke schonmal .

Liebe Grüße

        
Bezug
maximale lineare Teilmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:29 Sa 14.04.2018
Autor: tynia

Was ich jetzt gemacht habe ist folgendes:

Da ich im R3 bist, gibt es maximal 3 linear unabhängige Vektoren. Das heißt, ich stelle ein Gleichungssystem für 3 der Vektoren auf und bestimme die  lineare Unabhängigkeit. Für die Vektoren gibt es genau 10 Kombinationen, die ich prüfen muss, nämlich:

[mm] \vektor{v1 v2 v3\\ v1 v3 v4\\ v1 v4 v5\\ ... ... \\v3 v4 v5} [/mm]

Ich habe für jede Kombination ein Gleichungssystem in der folgenden Form aufgestellt: (Bespiel v1 v2 v3)

[mm] \pmat{ 1 & 2 & -2 & a \\ 2 & 1 &-4 & b\\ -1 & -1 & 2 & c } [/mm]

Lässt sich das eindeutig lösen, sind die jeweils betrachteten Vektoren linear unabhängig.

Ist dieser Ansatz richtig?


Bezug
                
Bezug
maximale lineare Teilmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:29 Sa 14.04.2018
Autor: donquijote

Hallo,

> Was ich jetzt gemacht habe ist folgendes:
>  
> Da ich im R3 bist, gibt es maximal 3 linear unabhängige
> Vektoren. Das heißt, ich stelle ein Gleichungssystem für
> 3 der Vektoren auf und bestimme die  lineare
> Unabhängigkeit. Für die Vektoren gibt es genau 10
> Kombinationen, die ich prüfen muss, nämlich:
>  
> [mm]\vektor{v1 v2 v3\\ v1 v3 v4\\ v1 v4 v5\\ ... ... \\v3 v4 v5}[/mm]
>  
> Ich habe für jede Kombination ein Gleichungssystem in der
> folgenden Form aufgestellt: (Bespiel v1 v2 v3)
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -2 & a \\ 2 & 1 &-4 & b\\ -1 & -1 & 2 & c }[/mm]
>  
> Lässt sich das eindeutig lösen, sind die jeweils
> betrachteten Vektoren linear unabhängig.
>  
> Ist dieser Ansatz richtig?
>  

Prizipiell ja. Es genügt aber, dass das homogene Gleichungssystem mit a=b=c=0 eindeutig lösbar ist.
Das lässt sich auch mit Hilfe der Determinante der Koeffizientenmatrix prüfen.
Un wenn du noch ausnutzt, dass der dritte Vektor ein skalares Vielfaches des ersten ist, genügt ist, 4 der 10 möglichen Kombinationen durchzurechnen.


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maximale lineare Teilmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 So 15.04.2018
Autor: tynia

Ok, super :) Danke erstmal. Aber ich verstehe gerade nicht, wie du auf nur 4 von 10 Kombinationen kommst, wenn v3 skalares Vielfaches von v1 ist

Bezug
                                
Bezug
maximale lineare Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 So 15.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Ok, super :) Danke erstmal. Aber ich verstehe gerade nicht,
> wie du auf nur 4 von 10 Kombinationen kommst, wenn v3
> skalares Vielfaches von v1 ist

Ganz einfach: du triffst eine Auswahl von drei aus vier Vektoren. Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle, also gibt es bekanntlich

[mm]{4 \choose 3}=4[/mm]

Möglichkeiten. Noch einfacher: du hast genau vier Möglichkeiten, einen Vektor wegzulassen. :-)


Gruß, Diophant

Bezug
        
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maximale lineare Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:14 So 15.04.2018
Autor: HJKweseleit

Setze [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] {\vektor{1\\2\\-1}, \vec{b} = \vektor{2\\1\\-1}, \vec{c} = \vektor{-2\\-4\\2}, \vec{d} = \vektor{1\\-1\\0}, \vec{e} =\vektor{-1\\-5\\2}}. [/mm]

Dann gilt:

[mm] \vec{c} [/mm] = - 2 [mm] \vec{a} [/mm]
[mm] \vec{d} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a} [/mm]
[mm] \vec{e} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] - 3 [mm] \vec{a} [/mm]

Somit sind alle Vektoren Linearkombinationen von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}. [/mm] Jede maximale Menge kann also nur 2 linear unabhängige Vektoren enthalten. Dieses sind dann jeweils verschiedene Kombinationen aus [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}: [/mm]

[mm] \{\vec{a}, \vec{b}\} [/mm]
[mm] \{\vec{a}, \vec{d}\} [/mm] = [mm] \{\vec{a},\vec{b} - \vec{a} \} [/mm]
[mm] \{\vec{a}, \vec{e}\} [/mm] = [mm] \{\vec{a}, \vec{b} - 3 \vec{a}\} [/mm]
[mm] \{\vec{b}, \vec{c}\} [/mm] = [mm] \{\vec{b}, - 2 \vec{a}\} [/mm]
[mm] \{\vec{b}, \vec{d}\} [/mm] = [mm] \{\vec{b}, \vec{b} - \vec{a}\} [/mm]
[mm] \{\vec{b}, \vec{e} \} [/mm] = [mm] \{\vec{b}, \vec{b}- 3 \vec{a}\} [/mm]
[mm] \{\vec{c}, \vec{d}\} [/mm] = [mm] \{ -2\vec{a}, \vec{b}- \vec{a}\} [/mm]
[mm] \{\vec{c}, \vec{e}\} [/mm] = [mm] \{ -2\vec{a}, \vec{b}- 3 \vec{a}\} [/mm]
[mm] \{\vec{d}, \vec{e}\} [/mm] = [mm] \{ \vec{b} - \vec{a}, \vec{b}- 3 \vec{a}\} [/mm]



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maximale lineare Teilmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:43 So 15.04.2018
Autor: tynia

Danke erstmal für deine Antwort. Mir ist aber noch nicht ganz klar, warum du die Vektoren gleich a,b,c,d,e setzt.

Ich hatte jetzt einfach erstmal alle Kombinationen aus 2 vektoren auf lineare Unabhängigkeit getestet. Und dann die Kombination aus 3, für alle unabhängigen Vektoren aus der 2-er Kombination.

Ist etwas umständlich, aber war für mich erstmal der sinnigste Ansatz.

Vielleicht kannst du mir kurz erläutern, warum man es auch auf deine Art lösen kann.

Bezug
                        
Bezug
maximale lineare Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 So 15.04.2018
Autor: HJKweseleit

a, b, c, d und e sind ja nur Abkürzungen, damit ich dir das, was ich meine, einfacher aufschreiben kann.

Dass a und b lin. unabhängig sind, siehst du sofort.
Nun habe ich versucht, die anderen Vektoren dadurch auszudrücken. Alle anderen waren LK dieser beiden.

Wäre beispielsweise c von a und b lin. unabhängig gewesen, hätte ich d und e als LK von a, b und c hingeschrieben.

Bei meiner Lösung stehen links die gesuchten Mengen, die rechts nochmals als LK von a und b ausgedrückt werden. Wieso sind nun die beiden Ausdrücke in der jeweils rechten Darstellung lin. unabhängig?

Es gilt: Sind [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] linear unabhängig, so sind auch die beiden LK [mm] r\vec{a} [/mm] + [mm] s\vec{b} [/mm] und [mm] t\vec{a} [/mm] + [mm] u\vec{b} [/mm] lin. unabhängig, falls [mm] \vektor{r\\s}\ne k*\vektor{t \\u} [/mm] ist (anschaulich: Das Pärchen r,s ist kein Vielfaches des Pärchens t,u bzw. umgekehrt).


Beweis: Sei [mm] x*(r\vec{a} [/mm] + [mm] s\vec{b}) [/mm] + [mm] y*(t\vec{a} [/mm] + [mm] u\vec{b})=0. [/mm] Wenn dann x = 0 und y = 0 sein müssen, sind die beiden LK lin. unabhängig.

Umstellen ergibt:(rx + [mm] ty)*\vec{a}+(sx [/mm] + [mm] uy)*\vec{b}= [/mm] 0, und weil [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] lin. unabhängig sind, müssen

rx + ty =0   und
sx + uy =0   sein.

Das gibt x = 0/(ru - st)=0 und y = 0/(ru - st)=0, da [mm] ru\ne [/mm] st ist.

Wenn du nun in den rechten Klammern die beiden LK miteinander vergleichst, siehst du, das keine ein Vielfaches des anderen ist, und damit sind beide lin. unabhängig.

Nicht richtig wäre z.B.
[mm] \{\vec{a},\vec{c}\} [/mm] = [mm] \{\vec{a},-2*\vec{a}\}, [/mm]

denn da wäre formal r=1, s=0, t=-2, u=0 und damit das Pärchen t,u -2mal so groß wie r,s (natürlich siehst du auch so sofort, dass beide lin. abhängig sind).





Bezug
                                
Bezug
maximale lineare Teilmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:23 Mo 16.04.2018
Autor: tynia

Ok, vielen Dank erstmal.


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