matrixwertige Fkt beschränkt < Ordinary Differential Equations < Differential Equations < Uni-Calculus < University < Maths <
|
| Aufgabe | | Sei [mm]A:I \rightarrow M(n,\IK)[/mm] eine stetige matrixwertige Funktion definiert auf einem offnene Intervall [mm]I\subseteq \left[ a,\infty\left[ , a\in\IR[/mm]. Zeigen Sie, daß wenn [mm]\left| \left| A(x) \right| \right|[/mm] auf [mm]\left[ a,\infty\left[ [/mm] beschränkt ist und [mm]\phi:I \rightarrow \IK^n[/mm] eine nichtverschwindende Lösung von [mm]y'=A(x)y[/mm], so gilt [mm]\limsup_{x \to \infty} \bruch{ln \left|\left| \phi (x) \right| \right|}{x}< \infty[/mm]. |
Hallo,
soweit bin ich gekommen:
Da [mm]\phi[/mm] Lösung der DGL ist, gilt [mm]\phi'(x)=A(x)\phi(x) \Rightarrow \bruch{\phi'(x)}{\phi(x)}=A(x)[/mm], da die Lösung nicht verschwindet. Integration auf beiden Seiten liefert [mm]ln(\phi(x))=A(x)x[/mm], also für [mm]x\not= 0[/mm] dann [mm]\bruch{ln(\phi(x))}{x}=A(x)[/mm]. Da für [mm]x\rightarrow \infty[/mm] irgendwann gilt [mm]x\ge a[/mm] folgt [mm]\limsup_{x \to \infty} \bruch{ln(\phi (x))}{x}=\limsup_{x \to \infty} A(x)<\infty[/mm]. Jetzt hab ich nur leider nirgendwo die Norm, wie bekomme ich sie mit rein? Stimmt das soweit überhaupt? Kommt mir ein wenig zu einfach vor...
Danke für's drüberschaun!
Grüße
couldbeworse
|
|
| |
|
Oh mann, Brett vorm Kopf 
Hat sich erledigt!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Statement) No reaction required  | | Date: | 14:24 So 17/06/2012 | | Author: | M.Rex |
Hallo.
Schön, dass du selber auf die Lösung gekommen bist, ich habe deine Frage dann mal auf "erledigt" gestellt.
Marius
|
|
|
|
