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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - ln von e^x + e^-x auflösen
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ln von e^x + e^-x auflösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Fr 18.12.2015
Autor: DorianGreen

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Habe folgende Funktion als Aufgabenstellung bekommen:

f(x)= a/2c *(e^(cx)+e^(-cx)) mit a,c >0

achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse hab ich noch leicht herausgekriegt, das das Minimum der Funktion a/c beträgt ebenfalls.

Nun war die Aufgabe, dass a und c so zu wählen sind, dass das Minimum y=5 beträgt und die Punkte (100,30) sowie (-100,30) auf der Funktion liegen.
das Minimum muss 5 sein, demnach ist a/c = 5

somit habe ich folgende Gleichung:

30 = 2.5 * (e^(100c) + e^(-100c))

hier forme ich also um auf

ln(12) = ln(e^(100c) + e^(-100c))

da beide Summanden sicher >0 sind darf ich noch umformen:

ln(12) = 100c + ln(1+ e^(-200c))

es gilt nach c aufzulösen, allerdings bekomme ich es einfach nicht aus dem ln heraus. Meine Versuche, die Summe als Produkt umzuschreiben haben leider auch nicht gefruchtet.
Könnt Ihr mir weiterhelfen, wie ich hier nach c auflöse?


        
Bezug
ln von e^x + e^-x auflösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:57 Fr 18.12.2015
Autor: schachuzipus

Hallo DorianGreen und erstmal herzlich [willkommenmr],


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>

> Habe folgende Funktion als Aufgabenstellung bekommen:

>

> f(x)= a/2c *(e^(cx)+e^(-cx)) mit a,c >0

>

> achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse hab ich noch leicht
> herausgekriegt, das das Minimum der Funktion a/c beträgt
> ebenfalls.

ok ...

>

> Nun war die Aufgabe, dass a und c so zu wählen sind, dass
> das Minimum y=5 beträgt und die Punkte (100,30) sowie
> (-100,30) auf der Funktion liegen.
> das Minimum muss 5 sein, demnach ist a/c = 5 [ok]

>

> somit habe ich folgende Gleichung:

>

> 30 = 2.5 * (e^(100c) + e^(-100c))

>

> hier forme ich also um auf

Ich würde den [mm]\ln[/mm] noch nicht loslassen auf die Gleichung:

Du hast [mm]e^{100c}+e^{-100c}=12[/mm]

Hier ist es ratsam, mit [mm]e^{100c}\neq 0[/mm] durchzumultiplizieren:

[mm]e^{200c}-12e^{100c}+1=0[/mm]

Nun ist [mm]e^{200c}=\left(e^{100c}\right)^2[/mm]

Du hast also eine quadratische Gleichung.

Substituiere der Einfachheit halber [mm]z:=e^{100c}[/mm] und löse [mm]z^2-12z+1=0[/mm] nach [mm]z[/mm] auf und resubstitueire am Ende die Lösungen ...

>

> ln(12) = ln(e^(100c) + e^(-100c))

>

> da beide Summanden sicher >0 sind darf ich noch umformen:

>

> ln(12) = 100c + ln(1+ e^(-200c))

Stimmt zwar, ist aber nicht zielführend, die Summe im [mm]\ln[/mm] wirst du nicht gut los ...

>

> es gilt nach c aufzulösen, allerdings bekomme ich es
> einfach nicht aus dem ln heraus. Meine Versuche, die Summe
> als Produkt umzuschreiben haben leider auch nicht
> gefruchtet.
> Könnt Ihr mir weiterhelfen, wie ich hier nach c
> auflöse?

Gruß

schachuzipus
>

Bezug
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