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Forum "Lineare Abbildungen" - lineare Abbildungen
lineare Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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lineare Abbildungen: Hilfe bei der Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:41 Mo 08.06.2015
Autor: rsprsp

Aufgabe
Geben Sie für jede der folgenden linearen Abbildungen L die Dimension und die Basis des Bildes img(L) und des Kerns ker(L) an. Bestimmen Sie zusätzlich für die Abbildungen, ob sie Homomorphismus, Monomorphismus,
Epimorphismus oder Isomorphismus sind.

L: [mm] \IR^{4} \to \IR^{3}, L(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}+x_{3}+2x_{4} \\ 2x_{1}+x_{2}+x_{4} \\ 3x_{1}+x_{2}+x_{3}+3x_{4}} [/mm]
L: [mm] \IR^{3} \to \IR^{4}, L(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\ -2x_{1}+x_{2}+2x_{3} \\ -3x_{1}+2x_{2}+4x_{3} \\ 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}} [/mm]
L: [mm] \IR^{4} \to \IR^{2}, L(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}) [/mm] = [mm] \vektor{2x_{1}- x_{3} \\ 4x_{1}+x_{2}+x_{3}+2x_{4}} [/mm]  
L: [mm] \IR^{4} \to \IR^{4}, L(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}+x_{3}+x_{4} \\ -x_{1}+x_{2}+x_{4} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}} [/mm]

Berechnet man den Kern mit dem Zeilenraum und das Bild mit dem Spaltenraum der Matrix ??

Kann mir jemand erklären wie man bestimmt ob es ein Homomorphismus, Monomorphismus,
Epimorphismus oder Isomorphismus ist ?

        
Bezug
lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:17 Di 09.06.2015
Autor: fred97


> Geben Sie für jede der folgenden linearen Abbildungen L
> die Dimension und die Basis des Bildes img(L) und des Kerns
> ker(L) an. Bestimmen Sie zusätzlich für die Abbildungen,
> ob sie Homomorphismus, Monomorphismus,
>  Epimorphismus oder Isomorphismus sind.
>  
> L: [mm]\IR^{4} \to \IR^{3}, L(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}})[/mm]
> = [mm]\vektor{x_{1}+x_{3}+2x_{4} \\ 2x_{1}+x_{2}+x_{4} \\ 3x_{1}+x_{2}+x_{3}+3x_{4}}[/mm]
>  
> L: [mm]\IR^{3} \to \IR^{4}, L(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}})[/mm]
> = [mm]\vektor{x_{1} \\ -2x_{1}+x_{2}+2x_{3} \\ -3x_{1}+2x_{2}+4x_{3} \\ 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}}[/mm]
>  
> L: [mm]\IR^{4} \to \IR^{2}, L(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}})[/mm]
> = [mm]\vektor{2x_{1}- x_{3} \\ 4x_{1}+x_{2}+x_{3}+2x_{4}}[/mm]  
> L: [mm]\IR^{4} \to \IR^{4}, L(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}})[/mm]
> = [mm]\vektor{x_{1}+x_{3}+x_{4} \\ -x_{1}+x_{2}+x_{4} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}}[/mm]
>  
> Berechnet man den Kern mit dem Zeilenraum und das Bild mit
> dem Spaltenraum der Matrix ??

Warum "erforscht" Du das nicht selbst ? Es ist nicht schwer: ist A eine mxn-Matrix mit den Spalten [mm] a_1,...,a_n [/mm] und ist die lineare Abb. [mm] f:\IR^n \to \IR^m [/mm] gegeben durch

  [mm] f((x_1,...,x_n)^T)=A(x_1,...,x_n)^T, [/mm]

so ist

    [mm] f((x_1,...,x_n)^T)=x_1a_1+...+x_na_n. [/mm]

Damit ist Bild(f)= lineare Hülle der Spaltenvektoren von A.

Nun sag Du etwas zum Kern von f.


>  
> Kann mir jemand erklären wie man bestimmt ob es ein
> Homomorphismus,

linear


> Monomorphismus,

linear und injektiv


>  Epimorphismus


linear und surjektiv

>  oder



Isomorphismus

linear und bijektiv.



fred






> ist ?


Bezug
                
Bezug
lineare Abbildungen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 08:29 Di 09.06.2015
Autor: rsprsp

Kern von f berechnet die Lösungsmenge eines homogene LGS
d.h.: f(x)=0

Ich habe jetzt für jede Abbildung eine Matrix aufgestellt
Bsp. a
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 3 } [/mm]

Und den Zeilenraum in ZSF gebracht:

[mm] \leadsto \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]

d.h. wir haben für
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] -x_{3}-2x_{4} [/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] 2x_{3}+3x_{4} [/mm]

und Ker f = { [mm] span(\vektor{-1 \\ 2 \\ 1 \\ 0},\vektor{-2 \\ 3 \\ 0 \\ 1}) [/mm] }

----

Beim Bild habe ich nach lin. unabhängigen Vektorek geguckt
D.h. Spaltenraum der Matrix in ZSF gebracht:

[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3} \leadsto \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]


Wir haben jetzt 2 lin. unabhängige Vektoren die ein Bild von f bilden

Im f = { [mm] span(\vektor{1 \\ 2 \\ 3},\vektor{ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm] }

Also dim(Kern(f))=2, dim(Im(f))=2

Stimmt das so ?

Bezug
                        
Bezug
lineare Abbildungen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Di 09.06.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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