konvergente Folgen arch. Körp. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute folgende Frage beschäftigt mich zurzeit:
| Aufgabe | Sei (K,<) archimedischer Körper ; [mm] n\in\IN
[/mm]
Es seien [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] konvergente Folgen in K mit demselben Grenzwert x. Für eine weitere Folge [mm] (c_n) [/mm] gelte gliedweise (d.h. für alle [mm] n\in\IN [/mm] )
[mm] a_n\le c_n \le b_n
[/mm]
zz. auch die Folge [mm] c_n [/mm] konvergiert gegen x |
Denke das ich hier irgendwie mit dem archimedischen Axiom weiterkommen könnte nur nicht wie ich soetwas beweisen kann
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Hallo Leute folgende Frage beschäftigt mich zurzeit:
> Sei (K,<) archimedischer Körper ; n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Es seien (an) und (bn) konvergente Folgen in K mit
> demselben Grenzwert x.Für eine weitere Folge (cn) gelte
> gliedweise (d.h. für alle n [mm]\in \IN[/mm] )
>
> an [mm]\le[/mm] cn [mm]\le[/mm] bn
>
> zz. auch die Folge cn konvergiert gegen x
>
> Denke das ich hier irgendwie mit dem archimedischen Axiom
> weiterkommen könnte nur nicht wie ich soetwas beweisen
> kann
Das Axiom brauchst du nicht, gehe über die [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] der Konvergenz...
Beachte, dass die beiden Foglen [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)$ [/mm] konvergieren ...
Gruß
schachuzipus
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Hey erstmal danke für deinen Tipp,
Mein Problem ist das ich mit dieser "Beweismathematik" noch nicht wirklich klar komme,die Folge cn liegt ja "zwischen an , bn bzw ist sogar gleich deshalb muss sie ja auch konvergieren.
Habe jetzt irgendwie versucht anzunehmen das cn nicht gegen x konvergiert bzw das an und bn nicht gegen x konvergieren dann wäre ja zb.
| cn-x | > [mm] \varepsilon
[/mm]
aber irgendwie komme ich damit trotzdem nicht weiter
also ich habe aufgabe und konvergenz definition vor mir liegen und verstehe die logik hinter der aufgabe nur kann ich das nicht mathematisch formal zeigen ...
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Hallo nochmal,
> Hey erstmal danke für deinen Tipp,
> Mein Problem ist das ich mit dieser "Beweismathematik"
> noch nicht wirklich klar komme,die Folge cn liegt ja
> "zwischen an , bn bzw ist sogar gleich deshalb muss sie ja
> auch konvergieren.
Anschaulich klar - die Folge [mm] $c_n$ [/mm] ist ja wie im Sandwich zwischen den beiden anderen konvergenten Folgen eingeklemmt ...
Daher auch der (bzw. ein) Name dieses Satzes bzw. Lemmas ... 
> Habe jetzt irgendwie versucht anzunehmen das cn nicht
> gegen x konvergiert bzw das an und bn nicht gegen x
> konvergieren dann wäre ja zb.
> | cn-x | > [mm]\varepsilon[/mm]
> aber irgendwie komme ich damit trotzdem nicht weiter
> also ich habe aufgabe und konvergenz definition vor mir
> liegen und verstehe die logik hinter der aufgabe nur kann
> ich das nicht mathematisch formal zeigen ...
Du kannst das direkt zeigen, indirekter Beweis ist nicht notwendig.
Zu zeigen ist, dass es zu beliebig vorgelegtem [mm]\varepsilon >0[/mm] ein [mm]N\in\IN[/mm] gibt, so dass für alle [mm]n\ge N[/mm] gilt: [mm]|c_n-x|<\varepsilon[/mm]
So steht es in der Definition.
Benutzen musst du, dass [mm]a_n, b_n[/mm] gegen [mm]x[/mm] konvergieren und dass [mm]a_n\leq c_n\leq b_n[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm]
Sei also [mm]\varepsilon >0[/mm] vorgegeben.
Dann gibt es wegen der Konvergenz der beiden anderen Folgen gegen [mm]x[/mm] jeweils ein [mm]N_1\in\IN[/mm] und ein [mm]N_2\in\IN[/mm], so dass für alle [mm]n\ge N_1[/mm] gilt: [mm]|a_n-x|<\varepsilon[/mm] und für alle [mm]n\ge N_2[/mm] gilt: [mm]|b_n-x|<\varepsilon[/mm] - ok soweit?
Nun löse mal die Beträge auf ..
Was bedeutet [mm]|a_n-x|<\varepsilon[/mm]?
Dass [mm]a_n[/mm] näher an [mm]x[/mm] liegt als [mm]\varepsilon[/mm], mathematisch also
[mm]x-\varepsilon \ < \ a_n \ < \ x+\varepsilon[/mm]
Selbiges für [mm]b_n[/mm]
Damit stelle eine Ungleichungskette her, die [mm]|c_n-x|<\varepsilon[/mm] beschreibt.
Dann fehlt nur noch das [mm]N[/mm], das anzugeben ist und für das für alle [mm]n\ge N[/mm] gilt: [mm]|c_n-x|<\varepsilon[/mm]
Das wird natürlich irgendwie von [mm]N_1[/mm] und [mm]N_2[/mm] abhängen ...
Nun habe ich aber fast alles verraten
Schreibe das nun mal schön sauber auf und ergänze die kleinen Lücken ...
Gruß
schachuzipus
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Hey schachuzipus danke für deine ausführliche antwort ich habe auch alles soweit verstanden auch wenn ich niemals auf [mm] x-\varepsilon [/mm] < [mm] a_n [/mm] < [mm] x+\varepsilon [/mm] gekommen wäre ^^
also ich habe jetzt
[mm] x-\varepsilon [/mm] < [mm] a_n [/mm] < [mm] x+\varepsilon [/mm] 1.
[mm] x-\varepsilon [/mm] < [mm] b_n [/mm] < [mm] x+\varepsilon [/mm] 2.
[mm] x-\varepsilon [/mm] < [mm] c_n [/mm] < [mm] x+\varepsilon [/mm]
[mm] |c_n-x|<\varepsilon [/mm] 3.
mit 1. und 2. soll ich jetzt 3. beschreiben...
ich denke das das irgendwie mit b-a gehen könnte...
(wahrscheinlich liege ich so falsch wie mit meinem archimedischen axiom)
[mm] x-\varepsilon [/mm] < [mm] b_n- a_n [/mm] < [mm] x+\varepsilon
[/mm]
und das mit den N...
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Hallo nochmal,
> Hey schachuzipus danke für deine ausführliche antwort ich
> habe auch alles soweit verstanden auch wenn ich niemals auf
> [mm]x-\varepsilon[/mm] < [mm]a_n[/mm] < [mm]x+\varepsilon[/mm] gekommen wäre ^^
Na, löse doch mal per Definition des Betrages die Betragsungleichung [mm]|a_n-x|<\varepsilon[/mm] auf ....
> also ich habe jetzt
> [mm]x-\varepsilon[/mm] < [mm]a_n[/mm] < [mm]x+\varepsilon[/mm] 1.
> [mm]x-\varepsilon[/mm] < [mm]b_n[/mm] < [mm]x+\varepsilon[/mm] 2. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]x-\varepsilon[/mm] < [mm]c_n[/mm] < [mm]x+\varepsilon[/mm]
Daruaf willst du hinaus - das ist gleichbedeutend mit 3.
> [mm]|c_n-x|<\varepsilon[/mm] 3.
>
> mit 1. und 2. soll ich jetzt 3. beschreiben...
> ich denke das das irgendwie mit b-a gehen könnte...
> (wahrscheinlich liege ich so falsch wie mit meinem
> archimedischen axiom)
> [mm]x-\varepsilon[/mm] < [mm]b_n- a_n[/mm] < [mm]x+\varepsilon[/mm]
Na, es ist doch [mm]x-\varepsilon
Also wenn man das Gelumpe alles weglässt und sich nur den Teil rauspickt, den man braucht:
[mm]x-\varepsilon
dh. nix anderes als [mm]|c_n-x|<\varepsilon[/mm]
>
> und das mit den N...
Ja, wie sollen wir das wählen?
Ein Teil dieser Ungleichung gilt (zumindest) für [mm]n\ge N_1[/mm], der andere (zumindest) für [mm]n\ge N_2[/mm]
Na? Eine Idee für die Wahl von [mm]N[/mm]? Wir müssen irgendwie [mm] $n\ge N_1,N_2$ [/mm] hinbekommen, damit sie sicher gilt ...
Puh, jetzt hab ich's wirklich verraten ...
Wähle $N:=ma.....$
Gruß
schachuzipus
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hey schachuzi :D
[mm] x-\varepsilon
[mm] c_n
wahrscheinlich meinst du N3 soll maximal gewählt sein aber weiss nicht ob das reicht wenn ich sage das N3 maximal sein soll
N3>= N1,N2 muss auf jedenfall gelten
würde es nicht sicher gelten wenn N3=N1+N2 ?
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Hallo,
kann leider nicht zitieren, da ich vom Handy aus schreibe.
Aber ja. Ich meinte [mm] $N=\max\{N_1,N_2\}$
[/mm]
Deine Idee mit der Summe geht auch. Man muss ja nur ein passendes N angeben, nicht unbedingt das kleinste mögliche.
Grüße
schachuzipus
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ok also wäre das vom Tisch danke für deine Ausführlichkeit !
Eig geht es aber jetzt erst zur Sache
Es sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in K mit [mm] x_n>0 [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Es gebe ein 0<q<1 in K so,dass [mm] \bruch{x_n+1}{x_n} \le [/mm] q
zz. ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = 0
Also soll ich zeigen das die Folge gegen 0 konvergiert also eine (Nullfolge?) ist aber wie bringe ich das zustande mit diesem q das da noch auftaucht.
Ich soll zeigen das [mm] x_n [/mm] gegen 0 konvergiert ist dann überhaupt das N wichtig also ab wann | [mm] x_n-0 [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] gilt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 Mi 18.11.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo mathnoob9!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zunächst: Ja, eine Folge, die gegen Null konvergiert, wird auch Nullfolge genannt.
Zur Aufgabe: Du sollst den Satz, den du davor bewiesen hast, anwenden!
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Mi 18.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> ok also wäre das vom Tisch danke für deine
> Ausführlichkeit !
> Eig geht es aber jetzt erst zur Sache
>
> Es sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge in K mit [mm]x_n>0[/mm] für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Es gebe ein 0<q<1 in K so,dass [mm]\bruch{x_n+1}{x_n} \le[/mm] q
Ich nehme an , es lautet:
[mm]\bruch{x_{n+1}}{x_n} \le[/mm] q
> zz. ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = 0
>
> Also soll ich zeigen das die Folge gegen 0 konvergiert also
> eine (Nullfolge?) ist aber wie bringe ich das zustande mit
> diesem q das da noch auftaucht.
> Ich soll zeigen das [mm]x_n[/mm] gegen 0 konvergiert ist dann
> überhaupt das N wichtig also ab wann | [mm]x_n-0[/mm] | <
> [mm]\varepsilon[/mm] gilt?
Zeige induktiv:
[mm] $0
bekannt dürfte sein: [mm] (q^n) [/mm] ist eine Nullfolge.
FRED
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Morgen Leute,
Mich verwirrt es wie ich hier per Induktion beweisen soll denn ich habe ja keine direkten folgen gegeben in die ich jetzt zb. meine 1 für den Ind. Anf. einsetzen könnte.
[mm] 0
x_(1+1) [mm] \le x_1 [/mm] * [mm] q^1 [/mm] jetzt kann ich schon nicht aussagen ob das stimmt also kein häckchen dahinter machen .....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Do 19.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Morgen Leute,
> Mich verwirrt es wie ich hier per Induktion beweisen soll
> denn ich habe ja keine direkten folgen gegeben in die ich
> jetzt zb. meine 1 für den Ind. Anf. einsetzen könnte.
> [mm]0
> 0 sind würde ich für die Ind. n>0 vorraussetzen und für
> den Ind.Anf. n=1 nehmen.
>
> x_(1+1) [mm]\le x_1[/mm] * [mm]q^1[/mm] jetzt kann ich schon nicht
> aussagen ob das stimmt also kein häckchen dahinter machen
Wir haben doch:
$ [mm] \bruch{x_{n+1}}{x_n} \le [/mm] $ q für n [mm] \in \IN.
[/mm]
Multiplizieren wir mit [mm] x_n [/mm] durch, so kommt:
[mm] $x_{n+1} \le x_n*q$ [/mm] für n [mm] \in \IN.
[/mm]
Ist n=1, so gilt
[mm] $x_{2} \le x_1*q$ [/mm] .
Damit haben wir die Gültigkeit von
$ [mm] x_{n+1} \le x_1\cdot{}q^n [/mm] $
im Falle n=1.
Kannst Du nun ein Häkchen machen ?
FRED
> .....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Do 19.11.2015 | | Autor: | Jule2 |
Doch dass kannst du wenn du dir deine Voraussetzung anschaust !
[mm] \bruch {x_{n+1}} {x_{n}} \le [/mm] q
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Do 19.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Doch dass kannst du wenn du dir deine Voraussetzung
> anschaust !
> [mm]\bruch {x_{n+1}} {x_{n}} \le[/mm] q
Hab ich was anderes gesagt ??
FRED
>
> Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Do 19.11.2015 | | Autor: | Jule2 |
Nein hatte es nur nicht gelesen entschuldige!
Gruß
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Also danke euch auf jedenfall aber Fred wie kommst du denn auf [mm] 0
gruß mathnoob9^^
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Hallo nochmal,
der akck Formeleditor geht zum wiederholten Male nicht; ich hoffe, dass das, was ich geschrieben habe, einigermaßen lesbar und fehlerfrei ist - habe mit Farben hantiert. Aber leider keine Möglichkeit, das zu kontrollieren...
> Also danke euch auf jedenfall aber Fred wie kommst du denn
> auf [mm]0
[mm]0\leq[/mm] ist hoffentlich klar ...
Das andere ergibt sich aus der Transitivität der [mm]\leq[/mm]-Relation:
[mm]x_{n+1}\le \red{x_n}\cdot{}q\le \red{(x_{n-1}\cdot{}q)\cdot{}q=\blue{x_{n-1}\cdot{}q^2\le\blue{x_{n-2}\cdot{}q)}\cdot{}q^2=x_{n-2}\cdot{}q^3\le\ldots{}\le \red{x_2}\cdot{}q^{n-1}\le \red{x_1\cdot{}q}\cdot{}q^{n-1}=x_1\cdot{}q^{n}[/mm]
>
> gruß mathnoob9^^
Gruß
schachuzipus
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