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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - komplexe Nullstellen bestimmen
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komplexe Nullstellen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Mi 11.01.2017
Autor: arti8

Aufgabe
[mm] \lambda^{3}=27 [/mm]

Guten Abend,

Ich versuche grade die komplexen Nullstellen zu berechnen. Ich weiß leider nicht wie. Ich habe es bereits so versucht:

[mm] \lambda1=3 [/mm]

Polynomdivision:

[mm] \lambda^{3}:(x-3) [/mm] = [mm] \lambda^{2}+3\lambda+9+\bruch{27}{\lambda -3} [/mm]

Meine Idee war es die restlichen Nullstellen über die pq-Formel zu lösen. Jetzt habe ich allerdings einen Rest. Und bei einer Nullstelle sollte ja eigentlich kein Rest raus kommen.

Kann ich die Nullstellen den so auch berechnen ? Oder muss ich das anders angehen ? Was mache ich mit dem Rest ?

        
Bezug
komplexe Nullstellen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Mi 11.01.2017
Autor: angela.h.b.


> [mm]\lambda^{3}=27[/mm]
> Guten Abend,

>

> Ich versuche grade die komplexen Nullstellen zu berechnen.

Hallo,

die komplexen Nullstellen welcher Funktion?
Ich sage es Dir: von [mm] f(x)=x^3-27. [/mm]

> Ich weiß leider nicht wie. Ich habe es bereits so
> versucht:

>

> [mm]\lambda_1=3[/mm]

Okay. Durch Wissen, Raten oder Eingebung hast Du diese Nullstelle gefunden.


>

> Polynomdivision:

>

> [mm]\lambda^{3}:(x-3)[/mm] =

Nein, Du mußt doch rechnen

[mm] (x^3-27):(x-3)=..., [/mm]

denn wie oben erwähnt, suchst Du die Nullstellen von [mm] f(x)=x^3-27. [/mm]

Das geht dann auch auf, und Du kannst weitermachen wie geplant.

LG Angela




> [mm]\lambda^{2}+3\lambda+9+\bruch{27}{\lambda -3}[/mm]

>

> Meine Idee war es die restlichen Nullstellen über die
> pq-Formel zu lösen. Jetzt habe ich allerdings einen Rest.
> Und bei einer Nullstelle sollte ja eigentlich kein Rest
> raus kommen.

>

> Kann ich die Nullstellen den so auch berechnen ? Oder muss
> ich das anders angehen ? Was mache ich mit dem Rest ?


Bezug
                
Bezug
komplexe Nullstellen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:18 Mi 11.01.2017
Autor: arti8


> > [mm]\lambda^{3}=27[/mm]
>  > Guten Abend,

>  >
>  > Ich versuche grade die komplexen Nullstellen zu

> berechnen.
>  
> Hallo,
>  
> die komplexen Nullstellen welcher Funktion?
>  Ich sage es Dir: von [mm]f(x)=x^3-27.[/mm]

Ja stimmt, furchtbarer Fehler von mir. Ist mir nicht aufgefallen.

>  
> > Ich weiß leider nicht wie. Ich habe es bereits so
>  > versucht:

>  >
>  > [mm]\lambda_1=3[/mm]

>  
> Okay. Durch Wissen, Raten oder Eingebung hast Du diese
> Nullstelle gefunden.
>  

die Nullstelle habe ich bestimmt indem ich [mm] \lambda=\wurzel[3]{27} [/mm] gerechnet habe.
Somit ist meine erste Nullstelle: [mm] \lambda_1=3 [/mm]

Oder ist das mathematisch falsch ?

>
> >
>  > Polynomdivision:

>  >
>  > [mm]\lambda^{3}:(x-3)[/mm] =

>  
> Nein, Du mußt doch rechnen
>  
> [mm](x^3-27):(x-3)=...,[/mm]
>  
> denn wie oben erwähnt, suchst Du die Nullstellen von
> [mm]f(x)=x^3-27.[/mm]
>  
> Das geht dann auch auf, und Du kannst weitermachen wie
> geplant.
>  
> LG Angela
>  
>
>
>
> > [mm]\lambda^{2}+3\lambda+9+\bruch{27}{\lambda -3}[/mm]
>  >
>  > Meine Idee war es die restlichen Nullstellen über die

>  > pq-Formel zu lösen. Jetzt habe ich allerdings einen

> Rest.
>  > Und bei einer Nullstelle sollte ja eigentlich kein Rest

>  > raus kommen.

>  >
>  > Kann ich die Nullstellen den so auch berechnen ? Oder

> muss
>  > ich das anders angehen ? Was mache ich mit dem Rest ?


Vielen Dank für die Hilfe. Also geht es doch. :)

Bezug
                        
Bezug
komplexe Nullstellen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Mi 11.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

[mm] x_1=3 [/mm] ist richtig. Daher muss die Polynomdivision

[mm] (x^3-27):(x-3) [/mm]

ohne Rest aufgehen. Und das Resultat ist dann quadratisch, also bietet sich natürlich die pq-Formel an.

Gruß, Diophant



Bezug
                                
Bezug
komplexe Nullstellen bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:40 Mi 11.01.2017
Autor: arti8

Super vielen Dank für die Hilfe. :)

Bezug
        
Bezug
komplexe Nullstellen bestimmen: Zusatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Mi 11.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

wenn man komplexe Nullstellen berechnet, dann hat man ja auch sicherlich die Gaußsche Ebene schon durchgenommen.

In dieser liegen die drei Lösungen auf einem Kreis um 0 mit dem Radius R=3 und schließen paarweise einen Winkel von [mm] \frac{2}{3}\pi [/mm] ein. Damit findet man die Nullstellen am einfachsten.

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
komplexe Nullstellen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 Mi 11.01.2017
Autor: arti8


> Hallo,
>  
> wenn man komplexe Nullstellen berechnet, dann hat man ja
> auch sicherlich die Gaußsche Ebene schon durchgenommen.
>  
> In dieser liegen die drei Lösungen auf einem Kreis um 0
> mit dem Radius R=3 und schließen paarweise einen Winkel
> von [mm]\frac{2}{3}\pi[/mm] ein. Damit findet man die Nullstellen am
> einfachsten.
>  
> Gruß, Diophant


So habe ich es auch schon versucht.

Wäre das mathematisch korrekt wenn mein Weg so wäre ?

[mm] \lambda^{3}=27 [/mm]

[mm] \lambda_1=\wurzel[3]{27}=3 [/mm]

[mm] \lambda_{2/3}=\pm 3*e^{i*120°}=\pm 3*e^{i*\bruch{2*\pi}{3}}=\pm 3*(cos(\bruch{2*\pi}{3})+i*sin(\bruch{2*\pi}{3})) [/mm]

[mm] \lambda_2=\bruch{-3}{2}+i*\bruch{3*\wurzel{3}}{2} [/mm]

[mm] \lambda_3=\bruch{3}{2}-i*\bruch{3*\wurzel{3}}{2} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
komplexe Nullstellen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:37 Mi 11.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

(ich kann gerade schlecht zitieren, da ich vom Smartphone aus schreibe)

Das ist noch falsch. Das +/- gehört in das Argument, nicht vor die Zahl(en)!

Gruß, Diophant

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