ggT Polynme (Euklid. Algor.) < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f,g,p,q [mm] \in \IR[X]
[/mm]
geg. h=ggT(f,g)
ges.: p,q mit h=pf+qg |
Weiter sei gegeben:
Mit Grad(f)>Grad(g)
folge
[mm] f=q_{1}g+r_{1} [/mm] (i)
und
[mm] g=q_{1}r_{1}+0
[/mm]
=> [mm] q_{1}=h=ggT(f,g)
[/mm]
d.h. [mm] g=hr_{1} [/mm] (ii)
_____
Wie finde ich jetzt p,q mit
h=pf+qg
?
Mir ist nicht ganz klar, wie ich hier jetzt einsetzen muss.
Mit (ii):
[mm] h=g/r_{1}=:(ii')
[/mm]
Jetzt muss noch f dazukommen:
Mit (i):
[mm] r_{1}=f-q_{1}g=:(i')
[/mm]
(i') in (ii'):
[mm] h=\bruch{g}{f-q_{1}g}
[/mm]
geht das so irgendwie?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Di 14.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> f,g,p,q [mm]\in \IR[X][/mm]
>
> geg. h=ggT(f,g)
>
> ges.: p,q mit h=pf+qg
> Weiter sei gegeben:
>
> Mit Grad(f)>Grad(g)
>
> folge
>
> [mm]f=q_{1}g+r_{1}[/mm] (i)
>
> und
>
> [mm]g=q_{1}r_{1}+0[/mm]
hier sollte wohl
[mm] $g=q_{\red{2}}r_1+0$
[/mm]
stehen.
Dann ist doch einfach
[mm] $\ggT(f,g)=r_1=f-q_1g=1*f+(-q_1)*g\,,$
[/mm]
wobei
[mm] $q_1=(f-r_1)/g$
[/mm]
war. Dabei ist [mm] $1\,$ [/mm] die $1 [mm] \in \IR[X]\,.$
[/mm]
Machen wir mal ein analoges Zahlenbeispiel:
Zu berechnen sei etwa
[mm] $\ggT(18,15)$ [/mm] (Du kannst auch [mm] $\ggT(84,24)$ [/mm] nehmen).
Dann ist
[mm] $18=1*15+3\,,$
[/mm]
[mm] $15=5*3+0\,.$
[/mm]
Dann ist
[mm] $3=1*18+(-1)*15\,.$
[/mm]
Dabei war
[mm] $-\red{\;1\;}=-\red{\;\frac{18-3}{15}\;}$
[/mm]
P.S. Schau' Dir einfach mal den erweiterten euklidischen Algorithmus etwa
im Buch "Elementare und algebraische Zahlentheorie" von Müller-Stach,
Piontkowski an. Die Berechnungsvorschrift dort gilt auch im Ring der
obigen Polynome, denn auch das ist ein euklidischer Ring. Die "Koeffizienten",
also die [mm] $x_k,y_k,$ [/mm] die Du dort siehst, sind hier halt einfach [mm] $\IR[X]$-Elemente,
[/mm]
aber i.W. rechnest Du wie in [mm] $\IZ\,.$ [/mm] "Division" ist dann halt "Polynom-Division".
Gruß,
Marcel
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