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geom. folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 Sa 29.08.2015
Autor: Peter_123

Aufgabe
a)Von einer geometrischen Reihe kennt man [mm] $s_4 [/mm] = [mm] \frac{15}{2}$ [/mm] und [mm] $q=\frac{1}{2}$. [/mm] Berechne [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_4. [/mm]

b) Von einer geom. Folge kennt man [mm] b_2 [/mm] = 1/9 und [mm] b_7 [/mm] = 27. Berechne [mm] b_1, [/mm] q und [mm] s_5. [/mm]



Mir ist nicht klar ob das erste Glied nun [mm] b_1 [/mm] oder [mm] b_0 [/mm] ist? - gehe aber davon aus, dass es [mm] b_0 [/mm] ist - da ja auch die geometrische Summe bei 0 beginnt.

Nun ist doch

[mm] $\frac{15}{2} [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{4-1}b_0 \cdot (1/2)^i [/mm] = [mm] b_0 \cdot \frac{1-\frac{1}{2}^4}{1-\frac{1}{2}} [/mm] $ [mm] \Rightarrow b_0 [/mm] = 4.

da nun ja [mm] b_n [/mm] = [mm] b_0 \cdot q^n [/mm] folgt

[mm] b_1 [/mm] = 2 und [mm] b_4 [/mm] = [mm] \frac{1}{4} [/mm]

adb)

da ja [mm] \frac{b_{n+1}}{b_n} [/mm] =q muss doch [mm] \frac{b_7}{b_2} [/mm] = [mm] q^5 [/mm] gelten.

Damit folgt [mm] q^5 [/mm] = [mm] \frac{27}{1/9} [/mm]

liefert als reelle Lösung q=3.

Aber das liefert doch eine divergente Reihe ... worin liegt er Fehler ?

.. andererseits ist mir die unendliche Reihe ja egal und die endliche kann ich ohnehin bestimmen -

dh.

[mm] b_7 [/mm] = [mm] b_1 \cdot 3^6 \Rightarrow b_1 [/mm] = [mm] \frac{27}{729} [/mm]

und [mm] s_5 [/mm] = [mm] \frac{27}{729} \cdot \frac{1-3^5}{1-3} [/mm] = [mm] \frac{121}{27} [/mm]

Passt das ?

Lg Peter

        
Bezug
geom. folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 Sa 29.08.2015
Autor: HJKweseleit


> a)Von einer geometrischen Reihe kennt man [mm]s_4 = \frac{15}{2}[/mm]
> und [mm]q=\frac{1}{2}[/mm]. Berechne [mm]b_1[/mm] und [mm]b_4.[/mm]
>  
> b) Von einer geom. Folge kennt man [mm]b_2[/mm] = 1/9 und [mm]b_7[/mm] = 27.
> Berechne [mm]b_1,[/mm] q und [mm]s_5.[/mm]
>  
>
> Mir ist nicht klar ob das erste Glied nun [mm]b_1[/mm] oder [mm]b_0[/mm] ist?
> - gehe aber davon aus, dass es [mm]b_0[/mm] ist - da ja auch die
> geometrische Summe bei 0 beginnt.

Wer sagt das? Das muss nicht so sein, wenn du Kühe zählst, fängst du ja auch nicht mit 0 an. Das ist - je nach Lehrbuch - eine Vereinbarungssache.

>  
> Nun ist doch
>
> [mm]\frac{15}{2} = \sum_{i=0}^{4-1}b_0 \cdot (1/2)^i = b_0 \cdot \frac{1-\frac{1}{2}^4}{1-\frac{1}{2}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow b_0[/mm] = 4.
>  
> da nun ja [mm]b_n[/mm] = [mm]b_0 \cdot q^n[/mm] folgt
>
> [mm]b_1[/mm] = 2 und [mm]b_4[/mm] = [mm]\frac{1}{4}[/mm]

Dann machen wir mal die Probe:

4+2+1+1/2+1/4 =31/4 vom Nullten bis zum 4. Glied.

Besser passt 4+2+1+1/2 =15/2 vom 1. bis zum 4. Glied.

Wenn es also 5 Glieder sind, vom 0. bis zum 4., hättest du mit [mm] (1/2)^5 [/mm] in der Formel rechnen müssen. Dann wäre die Lösung aber gar nicht mehr so schön anzusehen...




>  
> adb)
>
> da ja [mm]\frac{b_{n+1}}{b_n}[/mm] =q muss doch [mm]\frac{b_7}{b_2}[/mm] =
> [mm]q^5[/mm] gelten.
>  
> Damit folgt [mm]q^5[/mm] = [mm]\frac{27}{1/9}[/mm]
>
> liefert als reelle Lösung q=3.
>
> Aber das liefert doch eine divergente Reihe ... worin liegt
> er Fehler ?

Nirgendwo!

>
> .. andererseits ist mir die unendliche Reihe ja egal und
> die endliche kann ich ohnehin bestimmen -
>  
> dh.

Genau: Warum sollte die Reihe konvergieren, du hast doch nur endlich viele Glieder zu betrachten?

>
> [mm]b_7[/mm] = [mm]b_1 \cdot 3^6 \Rightarrow b_1[/mm] = [mm]\frac{27}{729}[/mm]

= [mm]\frac{1}{27}[/mm]  [ok]

>  
> und [mm]s_5[/mm] = [mm]\frac{27}{729} \cdot \frac{1-3^5}{1-3}[/mm] =
> [mm]\frac{121}{27}[/mm]  [ok]
>  
> Passt das ?
>
> Lg Peter


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