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freie Gruppe in 2 Erzeugern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:52 Do 25.09.2014
Autor: Schachtel5

Hallo
Ich weiß, dass [mm] \IZ [/mm] als additive Gruppe frei über [mm] \{1\} [/mm] ist. Wie sieht die freie Gruppe über zwei Erzeugern aus also eine freie der Gruppe in der Form [mm] \IZ\*\IZ [/mm] über passenden Erzeugern?
Lg


        
Bezug
freie Gruppe in 2 Erzeugern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:37 Do 25.09.2014
Autor: UniversellesObjekt

Hallo,

Was meinst du mit "aussehen"? Was möchtest du über die Gruppe wissen?

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
        
Bezug
freie Gruppe in 2 Erzeugern: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:53 Do 25.09.2014
Autor: Schachtel5

da war ich echt zu unpräsize. Mir ist nicht klar, wie die Elemente in der Gruppe aussehen bzw eine Definition würde mir helfen.


Bezug
                
Bezug
freie Gruppe in 2 Erzeugern: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Sa 27.09.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
freie Gruppe in 2 Erzeugern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 Do 25.09.2014
Autor: UniversellesObjekt

Hallo,

Die Frage ist nicht wirklich sinnvoll, beziehungsweise ihre Antwort zu kennen ist nicht hilfreich. Nenne die beiden Erzeuger deiner Gruppe $x$ und $y $. Definiere außerdem zwei Symbole $ [mm] x^{-1} [/mm] $ und $ [mm] y^{-1} [/mm] $. Die Elemente von $ F (2) $ sind dann endliche Folgen, welche aus diesen vier Symbolen bestehen, z.B. $(x, y, y, [mm] y^{-1}, x^{-1}, [/mm] y) $, wobei jedoch zwei solche Folgen als gleich angesehen werden, wenn man durch Streichen oder Einfügen aufeinanderfolgender $ x $ und $ [mm] x^{-1} [/mm] $ oder $ y $ und $ [mm] y^{-1} [/mm] $ zur anderen Folge übergehen kann. Obiges Beispiel sieht man also als gleich an mit $(x, [mm] x^{-1}, [/mm] x, y, [mm] x^{-1}, [/mm] y) $. Präzise machen kann man dieses Identifizieren natürlich durch eine Äquivalenzrelation auf der Menge solcher Folgen. Multiplikation ist gegeben durch hintereinanderschreiben der Folgenglieder in einer neuen längeren Folge, die Eins ist gegeben durch die leere Folge und Inverse sind gegeben durch Umkehren der Reihenfolge der Folgenglieder sowie austauschen von $ x $ und $ [mm] x^{-1} [/mm] $ sowie $ y$ und $ [mm] y^{-1} [/mm] $. Dass man dadurch eine Gruppe erhält, ist relativ einfach nachzurechnen.

In der Praxis wird aber niemand diese Definition verwenden. Es geht allein um die universelle Eigenschaft der freien Gruppe, daraus folgt alles weitere, und die ist es, die man im Hinterkopf haben muss. Sie ist dir hoffentlich bekannt? Die obige Konstruktion hat allein den Zweck, die universelle Eigenschaft nachweisen zu können und dann damit zu hantieren. Tatsächlich ist das nicht einmal nötig, denn mit etwas Kategorientheorie folgt die Existenz rein formal und ohne Konstruktion aus Freyds Satz zur Existenz adjungierter Funktoren. Aber auch wenn man das nicht zur Verfügung hat, sollte man sich nicht durch das "Aussehen" der Elemente verwirren lassen, sondern sich auf die wichtigen Eigenschaften konzentrieren.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
freie Gruppe in 2 Erzeugern: Freyd <-> Fred
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:28 Fr 26.09.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> Die Frage ist nicht wirklich sinnvoll, beziehungsweise ihre
> Antwort zu kennen ist nicht hilfreich. Nenne die beiden
> Erzeuger deiner Gruppe [mm]x[/mm] und [mm]y [/mm]. Definiere außerdem zwei
> Symbole [mm]x^{-1}[/mm] und [mm]y^{-1} [/mm]. Die Elemente von [mm]F (2)[/mm] sind
> dann endliche Folgen, welche aus diesen vier Symbolen
> bestehen, z.B. [mm](x, y, y, y^{-1}, x^{-1}, y) [/mm], wobei jedoch
> zwei solche Folgen als gleich angesehen werden, wenn man
> durch Streichen oder Einfügen aufeinanderfolgender [mm]x[/mm] und
> [mm]x^{-1}[/mm] oder [mm]y[/mm] und [mm]y^{-1}[/mm] zur anderen Folge übergehen kann.
> Obiges Beispiel sieht man also als gleich an mit [mm](x, x^{-1}, x, y, x^{-1}, y) [/mm].
> Präzise machen kann man dieses Identifizieren natürlich
> durch eine Äquivalenzrelation auf der Menge solcher
> Folgen. Multiplikation ist gegeben durch
> hintereinanderschreiben der Folgenglieder in einer neuen
> längeren Folge, die Eins ist gegeben durch die leere Folge
> und Inverse sind gegeben durch Umkehren der Reihenfolge der
> Folgenglieder sowie austauschen von [mm]x[/mm] und [mm]x^{-1}[/mm] sowie [mm]y[/mm]
> und [mm]y^{-1} [/mm]. Dass man dadurch eine Gruppe erhält, ist
> relativ einfach nachzurechnen.
>  
> In der Praxis wird aber niemand diese Definition verwenden.
> Es geht allein um die universelle Eigenschaft der freien
> Gruppe, daraus folgt alles weitere, und die ist es, die man
> im Hinterkopf haben muss. Sie ist dir hoffentlich bekannt?
> Die obige Konstruktion hat allein den Zweck, die
> universelle Eigenschaft nachweisen zu können und dann
> damit zu hantieren. Tatsächlich ist das nicht einmal
> nötig, denn mit etwas Kategorientheorie folgt die Existenz
> rein formal und ohne Konstruktion aus Freyds Satz

schade, ich hatte gehofft

    FREDs Satz

stünde da... [traurig]

> zur Existenz adjungierter Funktoren. Aber auch wenn man das
> nicht zur Verfügung hat, sollte man sich nicht durch das
> "Aussehen" der Elemente verwirren lassen, sondern sich auf
> die wichtigen Eigenschaften konzentrieren.
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
freie Gruppe in 2 Erzeugern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:06 Fr 26.09.2014
Autor: UniversellesObjekt

Hallo Marcel,

ich schätze, der wird sich eher irgendwo in Maß- und Integrationstheorie, als in der Kategorientheorie finden. Wobei man am []Ende vielleicht mehr Paralleleln findet, als man denkt.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                
Bezug
freie Gruppe in 2 Erzeugern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:03 Fr 26.09.2014
Autor: Marcel

Hi UO ;-)

> Hallo Marcel,
>  
> ich schätze, der wird sich eher irgendwo in Maß- und
> Integrationstheorie, als in der Kategorientheorie finden.

ich glaube, er will eher

    Funkionalanalysis

hören. :-)

> Wobei man am
> []Ende
> vielleicht mehr Paralleleln findet, als man denkt.

Who knows?!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
freie Gruppe in 2 Erzeugern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:19 Mo 29.09.2014
Autor: Schachtel5

hallo
achso, alles klar danke, genau so eine Antwort hab ich gebraucht, UniversellesObjekt. Ich hatte es irgendwie nicht geschafft, nen passenden Suchbegriff für google zu finden um so eine Info zu erhalten..Ich muss mich mit der universellen Eigenschaft etc dazu erstmal vertraut machen und dem zu dem aus der Kategorientheorie, meine Kenntnisse beschränken sich auf Algebra1 was auch schon was her ist. Nach einem Jahr kein Mathe in der Uni bin ich irgendwie wieder voll raus:(.
Aber werds mir schon irgendwie anlesen können auf der Info hier aufbauend.
Lg

Bezug
                                                
Bezug
freie Gruppe in 2 Erzeugern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:45 Mo 29.09.2014
Autor: UniversellesObjekt

Hallo nochmal,

die grundlegenden Eigenschaften über freie Gruppen findest du in jedem Buch über Gruppentheorie. Lass mich etwa auf das zweite Kapitel aus dem Buch von Robinson verweisen. Dort wird die Existenz durch die Konstruktion wie von mir angegeben bewiesen, und die einfachsten Konsequenzen werden gezeigt. In einem späteren Kapitel findet man auch tiefgehendere Sätze, wie den Satz von Nielsen-Schreier, sowie das meiste über Koprodukte von Gruppen. Wenn du verrätst, was dich an der Gruppe [mm] $\IZ\ast\IZ [/mm] $ interessiert, kann ich vielleicht auch noch genauere Tipps geben.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                                        
Bezug
freie Gruppe in 2 Erzeugern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:23 So 05.10.2014
Autor: Schachtel5

Hey. Danke dir. Ich hatte mich mal mit etwas Homotopietheorie und der Fundamentalgruppe auseinandergesetzt.
Ich werde auch nochmal alles mit rund um den Satz Seifert-van-Kampen nachlesen müssen.
Da bin ich eher an einer konkreteren Darstellung der Gruppe interessiert aber daneben eine abstraktere Sicht zu bekommen erweitert natürlich den Horizont:).
Lieben Gruß

Bezug
                                                                
Bezug
freie Gruppe in 2 Erzeugern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:36 So 05.10.2014
Autor: UniversellesObjekt

Beachte jedoch, dass Seifert-van Kampen eigentlich ein Satz über das Fundamentalgruppoid ist. Eine gute Darstellung findet man auf den ersten Seiten des Buches von May, das eine hervorragende Quelle für weite Teile der Homotopietheorie ist.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                                                        
Bezug
freie Gruppe in 2 Erzeugern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:37 So 05.10.2014
Autor: Schachtel5

Alles klar, vielen lieben Dank!

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