matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, Körperdirekte Summe von Matrixräumen
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - direkte Summe von Matrixräumen
direkte Summe von Matrixräumen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

direkte Summe von Matrixräumen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Di 19.01.2016
Autor: Schadowmaster

moin,

zuerst mal: ich weiß, der Titel ist recht nichtssagend und passt auch nur bedingt zu der Frage, die ich gleich Stelle, mir ist nur kein besserer eingefallen.^^

Zuerst mal zum Setting:
Wir haben $K = [mm] \IF_q$ [/mm] einen endlichen Körper ($q$ Primzahlpotenz und so) sowie $F = [mm] \IF_{q^n}$ [/mm] eine $n-$dimensionale Erweiterung von $K$.
Wir wählen uns $g = [mm] (g_1,g_2,\ldots, g_m) \in F^m$ [/mm] so, dass die [mm] $g_i$ [/mm] über $K$ linear unabhängig sind (insbesondere sind alle ungleich $0$ und $m [mm] \leq [/mm] n$) und normieren so, dass [mm] $g_1 [/mm] = 1$ gilt.
Dann definieren wir eindimensionale $F-$Vektorräume [mm] $V_i$ [/mm] durch
[mm] $$V_i [/mm] := [mm] \langle g^{q^i}\rangle_F$$ [/mm]
wobei der $i-$fache Frobenius hier eintragsweise auf $g$ angewandt wird.
Schließlich setzen wir
$$V := [mm] \bigoplus_{i=0}^{l-1} V_i$$ [/mm]
wobei $l < m$, damit $V$ nicht der ganze [mm] $F^m$ [/mm] ist.

Wer mag darf sich jetzt schonmal an Gabidulin-Codes erinnert fühlen, muss aber nicht. :)

Als letzten Schritt fixieren wir eine $K-$Basis $B$ von $F$ und schreiben die Elemente aus [mm] $F^m$ [/mm] spaltenweise in dieser Basis. Dies liefert uns Elemente von [mm] $K^{n \times m}$. [/mm]
Wenden wir das ganze auf die [mm] $V_i$ [/mm] an und nennen die Resultate jeweils [mm] $W_i$, [/mm] so erhalten wir einen $K-$Vektorraum
$$W := [mm] \bigoplus_{i=0}^{l-1} W_i \leq K^{n \times m}$$ [/mm]
der Dimension $ln$.


So, langes Setting, nun kommt die eigentliche zu zeigende Aussage:

Sei $X [mm] \in K^{n \times n}$ [/mm] so, dass $XW [mm] \leq [/mm] W$. Dann gilt [mm] $XW_i \leq W_i$ [/mm] für alle $i$.


Und wem das zu langweilig ist, für den gibts auch noch eine stärkere Aussage:
Seien $X [mm] \in K^{n \times n}$ [/mm] und $Y [mm] \in K^{m \times m}$ [/mm] so, dass $XWY [mm] \leq [/mm] W.$ Dann gilt $XW_iY [mm] \leq W_i$ [/mm] für alle $i$.



Ich bastle schon seit einiger Zeit an diesen Aussagen, drehe mich aber die ganze Zeit im Kreis, sodass ich über jedwege Hilfe sehr dankbar wäre.
Ich hab schon einige Beispiele durchgerechnet und es scheint zu stimmen; ich konnte das ganze auch schon in Spezialfällen (zB wenn $g$ eine $K-$Basis eines Zwischenkörpers ist) beweisen, nur der allgemeine Fall will mir einfach nicht gelingen.

Eine äquivalente Aussage zur ersten Aussage, die ich gefunden habe, ist:
Ist $XW [mm] \leq [/mm] W$, so gilt [mm] $g_i\cdot [/mm] X = X [mm] \cdot g_i$ [/mm] für alle $i$. Hierbei sind die [mm] $g_i$ [/mm] bezüglich obiger Basis $B$ in [mm] $K^{n \times n}$ [/mm] eingebettet.
Hierbei wichtig: man braucht wirklich [mm] $g_1 [/mm] = 1$, sonst ist dies nicht äquivalent zu obiger Aussage.



Also, wenn jemand eine Idee dafür hat, ein Paper kennt, wo etwas brauchbares dafür thematisiert wird oder (was ich mal nicht hoffe^^) ein Gegenbeispiel kennt, immer her damit. :)


lg
Schadow

Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]