matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und Reihenbeschränkt, monoton=>konv
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Folgen und Reihen" - beschränkt, monoton=>konv
beschränkt, monoton=>konv < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

beschränkt, monoton=>konv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Do 13.11.2014
Autor: sissile

Aufgabe
Jede beschränkte monotone Folge [mm] (a_n) [/mm] reeller Zahlen konvergiert.


Ich versteh den Beweis im Forster I, Seite 49 nicht.

Beweis: Nach dem Satz von Bollzano-Weierstraß besitzt die Folge [mm] (a_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (a_{n_k}). [/mm] Sei a der Limes dieser Teilfolge. Wir zeigen, dass auch die gesamte Folge gegen a konvergiert. Dabei setzten wir voraus. dass die Folge [mm] (a_n) [/mm] monoton wächst, für monoton fallende Folgen geht der Beweis analog.
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] vorgegeben. Dann existiert ein [mm] k_0 \in \IN, [/mm] sodass
[mm] |a_{n_k}-a|<\epsilon [/mm] für alle k [mm] \ge k_0. [/mm]
Sei [mm] N:=n_{k_0}. [/mm] Zu jedem n [mm] \ge [/mm] N gibt es ein k [mm] \ge k_0 [/mm] mit [mm] n_k \le [/mm] n < [mm] n_{k+1}. [/mm] Da die Folge [mm] (a_n) [/mm] monoton wächst folgt daraus
[mm] a_{n_k} \le a_n \le a_{n_{k+1}} \le [/mm] a
also [mm] |a_n [/mm] -a | [mm] \le |a_{n_k} [/mm] -a| < [mm] \epsilon, [/mm] q.e.d.


Mein Problem ist bei:

> Zu jedem n [mm] \ge [/mm] N gibt es ein k [mm] \ge k_0 [/mm] mit [mm] n_k \le [/mm] n < [mm] n_{k+1}. [/mm]

Die Existenz von k ist mir unklar.
Hat wer einen Tipp für´s Visualisieren dieses Beweises?

LG,
sissi

        
Bezug
beschränkt, monoton=>konv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Do 13.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Jede beschränkte monotone Folge [mm](a_n)[/mm] reeller Zahlen
> konvergiert.
>  
> Ich versteh den Beweis im Forster I, Seite 49 nicht.
>  
> Beweis: Nach dem Satz von Bollzano-Weierstraß besitzt die
> Folge [mm](a_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge [mm](a_{n_k}).[/mm] Sei a der
> Limes dieser Teilfolge. Wir zeigen, dass auch die gesamte
> Folge gegen a konvergiert. Dabei setzten wir voraus. dass
> die Folge [mm](a_n)[/mm] monoton wächst, für monoton fallende
> Folgen geht der Beweis analog.
>  Sei [mm]\epsilon>0[/mm] vorgegeben. Dann existiert ein [mm]k_0 \in \IN,[/mm]
> sodass
>  [mm]|a_{n_k}-a|<\epsilon[/mm] für alle k [mm]\ge k_0.[/mm]
>  Sei [mm]N:=n_{k_0}.[/mm]
> Zu jedem n [mm]\ge[/mm] N gibt es ein k [mm]\ge k_0[/mm] mit [mm]n_k \le[/mm] n <
> [mm]n_{k+1}.[/mm] Da die Folge [mm](a_n)[/mm] monoton wächst folgt daraus
>  [mm]a_{n_k} \le a_n \le a_{n_{k+1}} \le[/mm] a
>  also [mm]|a_n[/mm] -a | [mm]\le |a_{n_k}[/mm] -a| < [mm]\epsilon,[/mm] q.e.d.
>  
>
> Mein Problem ist bei:
>  > Zu jedem n [mm]\ge[/mm] N gibt es ein k [mm]\ge k_0[/mm] mit [mm]n_k \le[/mm] n <

> [mm]n_{k+1}.[/mm]
> Die Existenz von k ist mir unklar.
> Hat wer einen Tipp für´s Visualisieren dieses Beweises?

was Du da Visualisieren willst, weiß ich nict. Aber folgendes: Die Folge (der
Indizes)

    [mm] $(n_k)_k$ [/mm]

ist doch eine streng monoton wachsend Folge natürlicher Zahlen. Das folgt
aus der "Teilfolgendefinition"!

    ([]Definition 5.22!)

Insbesondere gilt auch

    [mm] $n_k \ge [/mm] k$

für jedes $k [mm] \in \IN\,.$ [/mm]

Nun zu der Aussage:
Sei nun $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge N\,.$ [/mm] Setze

    [mm] $k:=\max\{\ell \in \IN \mid n_\ell \le n\}\,.$ [/mm]

Dann gilt $k [mm] \ge k_0\,:$ [/mm] Wegen

    [mm] $n_{k_0}=N \le [/mm] n$

ist nämlich [mm] $k_0 \in \{\ell \in \IN \mid n_\ell \le n\}\,.$ [/mm]

Nun zu den Ungleichungen:
Im Falle [mm] $n_k=n$ [/mm] gilt sofort wegen

    [mm] $n=n_k$ [/mm] auch $n [mm] \le n_k$ [/mm]

und wegen

    [mm] $n_{k+1} \ge n_k+1$ [/mm] (beachte die strenge Monotonie der Folge [mm] $(n_k)_k$ [/mm] - und,
    dass alle [mm] $n_k \in \IN$!) [/mm]

auch

    [mm] $n=n_k [/mm] < [mm] n_k+1 \le n_{k+1}\,,$ [/mm]

also

    [mm] $n_k \le [/mm] n < [mm] n_{k+1}\,.$ [/mm]

Nun sei [mm] $n_k [/mm] < [mm] n\,.$ [/mm] Nach Definition von [mm] $k\,$ [/mm] folgt, dass

    [mm] $n_{k+1} \le [/mm] n$

NICHT gelten kann. Also muss [mm] $n_{k+1} [/mm] > n$ gelten. Zusammen also

   [mm] $n_{k} [/mm] < n < [mm] n_{k+1}$ [/mm]

und damit insbesondere

    [mm] $n_k \le [/mm] n < [mm] n_{k+1}\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
beschränkt, monoton=>konv: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Fr 14.11.2014
Autor: sissile

Vielen lieben Dank, bin jetzt erst zum durchdenken gekommen ;)

LG,
sissi

Bezug
                        
Bezug
beschränkt, monoton=>konv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:24 Fr 14.11.2014
Autor: sissile

Woher wissen wir eigentlich, dass die Menge [mm] \{l \in \IN | n_l \le n\} [/mm] nicht leer ist?

LG,
sissi

Bezug
                                
Bezug
beschränkt, monoton=>konv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Fr 14.11.2014
Autor: Marcel

Hallo Sissi,

> Woher wissen wir eigentlich, dass die Menge [mm]\{l \in \IN | n_l \le n\}[/mm]
> nicht leer ist?

weil [mm] $k_0 \in \{l \in \IN | n_l \le n\}$ [/mm] gilt (das schreibe ich zwar in einem anderen Zshg.,
aber Du kannst an der Stelle, wo ich

    [mm] $\max\{\ell \in \IN \mid n_\ell \le n\}$ [/mm]

begründe, natürlich ergänzend erwähnen, dass daraus folgt, dass diese
Menge auch nicht leer ist - es ist schon gut, sowas zu beachten).

Erinnerung: Es war

    [mm] $n_{k_0}=N$ [/mm] und $n [mm] \ge N\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
beschränkt, monoton=>konv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Mi 19.11.2014
Autor: sissile

Hallo Marcel,
Entschuldige, dass ich mich erst jetzt nochmal melde. Aber ich habe den Beweis gerade nochmal wiederholt, ob ich ihn auch wirklich verstanden habe.
Ich bin darauf gekommen, dass ich nicht verstehe wieso:
[mm] a_{n_{k+1}} \le [/mm] a gilt.

WÜrde mich freuen, wenn du das nochmal für mich aufklären könntest - da ich nicht darauf komme.
Liebe Grüße,
sissi

Bezug
                                                
Bezug
beschränkt, monoton=>konv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:02 Mi 19.11.2014
Autor: Marcel

Hallo Sissile,

> Hallo Marcel,
>  Entschuldige, dass ich mich erst jetzt nochmal melde. Aber
> ich habe den Beweis gerade nochmal wiederholt, ob ich ihn
> auch wirklich verstanden habe.
>  Ich bin darauf gekommen, dass ich nicht verstehe wieso:
>  [mm]a_{n_{k+1}} \le[/mm] a gilt.

Du meinst, warum

    [mm] $a_{n_k} \le [/mm] a$

für alle [mm] $k\,$ [/mm] gelten muss?

> WÜrde mich freuen, wenn du das nochmal für mich
> aufklären könntest - da ich nicht darauf komme.

Nach Wahl der Teilfolge gilt ja

    [mm] $(a_{n_{k}})_k$ [/mm] wächst gegen [mm] $a\,,$ [/mm]

denn [mm] $a\,$ [/mm] wurde ja als der Limes dieser Teilfolge definiert.

Um die obige Ungleichung zu beweisen, führen wir einen Widerspruchsbeweis:
Wir nehmen also an, dass es ein [mm] $k_0$ [/mm] mit

    [mm] $a_{n_{k_0}} [/mm] > a$

gibt. Setze

    [mm] $\epsilon:=a_{n_{k_0}} -a\,,$ [/mm]

dann ist [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Ich behaupte nun: Für alle $k [mm] \ge k_0$ [/mm] folgt dann aber

    [mm] $a_{n_k} \ge \epsilon\,.$ [/mm] (Grund?)

Kann dann noch [mm] $a_{n_k} \to [/mm] a$ ($k [mm] \to \infty$) [/mm] erfüllt werden?

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                        
Bezug
beschränkt, monoton=>konv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 Mi 19.11.2014
Autor: sissile

Hallo Marcel,
Achso!
Würde [mm] \exists k_0 [/mm] mit [mm] a_{n_{k_0}}>a [/mm]
Setze [mm] \epsilon:= a_{n_{k_0}}-a>0 [/mm]
Wegen Monotonie: [mm] \forall [/mm] k [mm] \ge k_0 :|a_{n_k}-a| \ge a_{n_k} [/mm] -a [mm] \ge a_{n_{k_0}}-a=\epsilon [/mm]
Widerspruch zur konvergenz der Teilfolge [mm] (a_{n_k}) [/mm] gegen a.

LG,
sissi


Bezug
                                                                
Bezug
beschränkt, monoton=>konv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 Mi 19.11.2014
Autor: Marcel

Hallo Sissile,

übrigens mal vorneweg: Am besten hätten wir einfach den Satz formuliert:
Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] monoton wachsend und konvergent gegen [mm] $x\,,$ [/mm] so folgt

    [mm] $x_n \le [/mm] x$ für alle [mm] $n\,.$ [/mm]

Dann bräuchten wir uns unten nicht immer mit der Index-Indizierung rum-
plagen... Aber nun gut, machen wir's so weiter, wie wir angefangen haben,
auch wenn es vielleicht *nicht so schön* aussieht:

>  Würde [mm]\exists k_0[/mm] mit [mm]a_{n_{k_0}}>a[/mm]
>  Setze [mm]\epsilon:= a_{n_{k_0}}-a>0[/mm]
>  Wegen Monotonie: [mm]\forall[/mm] k [mm]\ge k_0 :|a_{n_k}-a| \ge a_{n_k}[/mm] -a [mm]\ge a_{n_{k_0}}-a=\epsilon[/mm]

Am Anfang hättest Du besser noch

    [mm] $|a_{n_k}-a|=a_{n_k}-a$ [/mm]

ergänzt. Das gilt, denn wegen

    [mm] $a_{n_k} \ge a_{n_{k_0}}$ [/mm]

folgt

    [mm] $a_{n_k}-a \ge a_{n_{k_0}}-a \ge 0\,.$ [/mm]

> Widerspruch zur konvergenz der Teilfolge [mm](a_{n_k})[/mm] gegen
> a.

[ok]

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
beschränkt, monoton=>konv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:05 Do 13.11.2014
Autor: fred97

Ich kanns mir nicht verkneifen, aber wie kommt man denn auf die Idee, das Monotoniekriterium mit Bolzano-W. zu beweisen ??

Der folgende Beweis ist kurz und knapp und enthält noch eine Information über den Limes:

Sei [mm] (a_n) [/mm] monoton wachsend und nach oben beschränkt. Weiter sei [mm] a:=sup\{a_n: n \in \IN\}. [/mm]

Sei [mm] \epsilon [/mm] >0. Dann ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a_N [/mm] >a- [mm] \epsilon. [/mm]  Für n>N hat man dann:

        [mm] a-\epsilon
Also [mm] |a_n-a|<\epsilon [/mm]  für n>N.



FRED

Bezug
                
Bezug
beschränkt, monoton=>konv: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:11 Do 13.11.2014
Autor: sissile

Hallo Fred,
Ja den Beweis haben wir auch in der Vorlesung gemacht - ich wollte aber den von Forster auch verstehen;)

LG,
sissi

Bezug
                
Bezug
beschränkt, monoton=>konv: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:50 Do 13.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Ich kanns mir nicht verkneifen, aber wie kommt man denn auf
> die Idee, das Monotoniekriterium mit Bolzano-W. zu beweisen ??

wahrscheinlich, damit man auch einfache Beweise kompliziert erscheinen
lassen kann?

Oder einfach nur, um zu sehen, dass man auch mit Kanonen auf Spatzen
schießen darf?

Ich muss auch mal im Forster nachschlagen, vielleicht schreibt er ja an
einer Stelle dazu, was das soll. Natürlich ist Dein Beweis *Standard*,
und in einer (mündlichen) Prüfung will sicher jeder Prüfer eher auf diesen
hinaus. :-)

Beim nochmaligen Lesen des Beweises frage ich mich aber gerade: Wird
an irgendeiner Stelle überhaupt

    [mm] $a_{n_{k+1}} \ge a_n$ [/mm]

benötigt? Bei [mm] $a_{n} \ge a_{n_k}$ [/mm] sehe ich ja noch, wozu man das braucht.
Ich muss mir das auch nochmal angucken. Vielleicht schreibt Forster aber
auch später im Buch, dass er diese Ungleichungen irgendwo für gewisse
Abschätzungen verwendet? Das würde dann auch seine Motivation, den
Beweis so zu führen, erklären....

Edit: Achja, er braucht [mm] $a_n \le a_{n_{k+1}}\,,$ [/mm] damit er [mm] $a_n \le [/mm] a$ begründen kann. Jetzt
sehe ich's ...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
beschränkt, monoton=>konv: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:10 Fr 14.11.2014
Autor: tobit09

Hallo zusammen!


> Ich kanns mir nicht verkneifen, aber wie kommt man denn auf
> die Idee, das Monotoniekriterium mit Bolzano-W. zu beweisen
> ??

Ich habe den Forster gerade nicht zur Hand, aber ich glaube, der Begriff des Supremums wird bei ihm erst in einem späteren Kapitel eingeführt. Also "musste" er einen Beweis ohne den Supremums-Begriff finden.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                        
Bezug
beschränkt, monoton=>konv: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:48 Fr 14.11.2014
Autor: fred97


> Hallo zusammen!
>  
>
> > Ich kanns mir nicht verkneifen, aber wie kommt man denn auf
> > die Idee, das Monotoniekriterium mit Bolzano-W. zu beweisen
> > ??
>  Ich habe den Forster gerade nicht zur Hand, aber ich
> glaube, der Begriff des Supremums wird bei ihm erst in
> einem späteren Kapitel eingeführt. Also "musste" er einen
> Beweis ohne den Supremums-Begriff finden.

Dann kann Forster aber noch nicht mal zeigen, dass (1/n) eine Nullfolge ist !. Denn dazu braucht man, dass [mm] \IN [/mm] kein supremum hat !

FRED

>  
>
> Viele Grüße
>  Tobias


Bezug
                                
Bezug
beschränkt, monoton=>konv: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:19 Fr 14.11.2014
Autor: tobit09

Hallo Fred!


>  >  Ich habe den Forster gerade nicht zur Hand, aber ich
> > glaube, der Begriff des Supremums wird bei ihm erst in
> > einem späteren Kapitel eingeführt. Also "musste" er einen
> > Beweis ohne den Supremums-Begriff finden.
>  
> Dann kann Forster aber noch nicht mal zeigen, dass (1/n)
> eine Nullfolge ist !. Denn dazu braucht man, dass [mm]\IN[/mm] kein
> supremum hat !

Ich glaube, der Beweis, dass [mm] $(\frac{1}{n})_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge ist, funktioniert bei ihm in der Art:

Sei [mm] $\varepsilon>0$. [/mm] Nach dem Archimedischen Axiom existiert dazu ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $N>\frac{1}{\varepsilon}$. [/mm] ...

Er kommt also ohne den Begriff des Supremums aus.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
Bezug
beschränkt, monoton=>konv: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:25 Fr 14.11.2014
Autor: DieAcht

Hallo Fred,


> Dann kann Forster aber noch nicht mal zeigen, dass (1/n)
> eine Nullfolge ist !. Denn dazu braucht man, dass [mm]\IN[/mm] kein
> supremum hat !

Forster benutzt das Archimedische Axiom.


Gruß
DieAcht


edit: Zu langsam...

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]