bed. Dichte u. Wahrscheinl. < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:13 Fr 05.12.2014 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | Der Zufallsvekor [mm] \vektor{X \\ Y} [/mm] unterliege der stetigen Gleichverteilung auf dem Quadrat [mm]Q:=\{\vektor{x \\ y} \in \IR^{2} : |x|+|y| \le 1\} [/mm]. Berechnen Sie (für beliebiges t [mm] \in \IR) [/mm] dann:
a) die bedingte Dichte von [mm]X[/mm] gegeben [mm]\{Y=t\}[/mm], das heißt [mm]f_{X}(s|\{Y=t\}) [/mm] für alle [mm]s \in \IR[/mm].
b) die bedingte Wahrscheinlichkeit [mm] P(\{X \le E_{P}(X)\}|\{Y=t\})[/mm]. |
Also mein Vorschlag:
Die Dichte von dem Zufallsvektor [mm] \vektor{X \\ Y} [/mm] ist:
[mm] f_{\vektor{X \\ Y}}=\begin{cases} \bruch{1}{2}, & \mbox{falls } \vektor{s\\t} \in Q \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Also ist [mm]f_{X}(s)=\begin{cases}1, & \mbox{falls } s \in [-1,1] \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
[mm]f_{Y}(t)=f_{X}(s)[/mm]
Somit hätte ich eine bedingte Dichte:
[mm]f_{X}(s|Y=t)=\bruch{f_{\vektor{X \\ Y}(s,t)}}{f_{Y}(t)}=\bruch{1}{2}[/mm]
Ist das richtig?
Für den Erwartungswert von X habe ich
[mm]E(X)=\integral_{-1}^{1}{x dx}=0[/mm]
Ist das auch noch richtig?
Wie berechne ich jetzt [mm] P(\{X \le E_{P}(X)\}|\{Y=t\})[/mm]?
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Hallo!
dieses lustige Quadrat mit Seitenlänge [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] und Fläche $2$ steht auf der Ecke. Deshalb ist
[mm] $f_X(x) [/mm] = [mm] \int f_{XY}(x,y) [/mm] dy$
nicht ganz so einfach wie Du denkst. [mm] $f_X(x)$ [/mm] ist keine Gleichverteilung, sondern eine Dreieckverteilung mit [mm] $f_X(-1)=f_X(+1)=0$ [/mm] und [mm] $f_X(0)=2$.
[/mm]
Wills Du mit dieser Information mal weiterrechnen? Wir sagen Dir dann wieder, ob es stimmt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Fr 05.12.2014 | | Autor: | riju |
> Hallo!
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> dieses lustige Quadrat mit Seitenlänge [mm]\sqrt{2}[/mm] und Fäche
> [mm]2[/mm] steht auf der Ecke. Deshalb ist
>
> [mm]f_X(x) = \int f_{XY}(x,y) dy[/mm]
>
> nicht ganz so einfach wie Du denkst. [mm]f_X(x)[/mm] ist keine
> Gleichverteilung, sondern eine Dreieckverteilung mit
> [mm]f_X(-1)=f_X(+1)=0[/mm] und [mm]f_X(0)=2[/mm].
Die Dreieickverteilung hatten wir leider nicht. Jetzt habe ich im Internet nachgeguckt, wie so eine Dichtefunktion aufgebaut ist.
Jetzt hab ich folgende Dichtefunktion:
[mm]f_{X}(s)=\begin{cases} s+1, & \mbox{wenn} -1\le s\le 0 \\ 1-s, & \mbox{wenn} 0
Meiner Ansicht nach ist dann [mm]f_{Y}(t)=\begin{cases} t+1, & \mbox{wenn} -1\le t\le 0 \\ 1-t, & \mbox{wenn} 0
Ist das richtig?
Dann hätte ich folgende bedingte Dichte:
[mm]f_{X}(s|Y=t)=\begin{cases} \bruch{1}{2(t+1)}\\ \bruch{1}{2(1-t)} \\ 0 \end{cases}[/mm]
Ist das richtig?
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> Wills Du mit dieser Information mal weiterrechnen? Wir
> sagen Dir dann wieder, ob es stimmt.
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Ja, die zwei Verteilungen stimmen. Ich sehe grad, dass ich mit [mm] $p_X(0)=2$ [/mm] nicht recht hatte: ich hatte doch glatt vergessen, dass die Höhe von [mm] $p_{XY}$ [/mm] nur $1/2$ ist.
Du kannst übrigens statt der Fallunterscheidung ganz locker schreiben: [mm] $p_X(s)=1-|s|$ [/mm] für [mm] $-1\leq s\leq [/mm] 1$.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist dann, wie Du sagst, $ [mm] f_{X}(s|Y=t)=\frac{1}{2(1-|t|)}$ [/mm] für [mm] $?\leq [/mm] s [mm] \leq [/mm] ?$. Und Deine letzte Aufgabe ist es, die zwei $?$ herauszufinden. Tipp: sie sind von $t$ abhängig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 So 07.12.2014 | | Autor: | riju |
> Ja, die zwei Verteilungen stimmen. Ich sehe grad, dass ich
> mit [mm]p_X(0)=2[/mm] nicht recht hatte: ich hatte doch glatt
> vergessen, dass die Höhe von [mm]p_{XY}[/mm] nur [mm]1/2[/mm] ist.
>
> Du kannst übrigens statt der Fallunterscheidung ganz
> locker schreiben: [mm]p_X(s)=1-|s|[/mm] für [mm]-1\leq s\leq 1[/mm].
>
> Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist dann, wie Du sagst,
> [mm]f_{X}(s|Y=t)=\frac{1}{2(1-|t|)}[/mm] für [mm]?\leq s \leq ?[/mm]. Und
> Deine letzte Aufgabe ist es, die zwei [mm]?[/mm] herauszufinden.
> Tipp: sie sind von [mm]t[/mm] abhängig.
Danke für die Hilfe. Ich denke mal das es [mm]-1 \leq s \leq 1[/mm] heißen muss oder?
Dann zu der zweiten Teilaufgabe:
Da [mm]X[/mm] eine Dreieickverteilung unterliegt, ist der Erwartungswert [mm]E(X)=\bruch{-1+0+1}{3}=0[/mm] oder?
Dann muss ich noch die Wahrscheinlichkeit [mm]P(\{X \le E(X)\} | \{Y=t\})[/mm] berechnen.
Jetzt muss ich das bloß die Verteilungsfunktion der bedingte Dichtefunktion berechnen und dann den Erwartungswert von [mm]X[/mm] einsetzen oder?
Als Verteilungsfunktion hätte ich dann:
[mm] F_{X}(t)=\begin{cases} \bruch{1}{2}\*ln(2+2t), & \mbox{für } -1 \le t \le 0 \\ -\bruch{1}{2}\*ln(2-2t), & \mbox{für } 0 < t \le 1 \end{cases}
[/mm]
Ist das so richtig?
Vielen Dank im Voraus
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> > Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist dann, wie Du sagst,
> > [mm]f_{X}(s|Y=t)=\frac{1}{2(1-|t|)}[/mm] für [mm]?\leq s \leq ?[/mm]. Und
> > Deine letzte Aufgabe ist es, die zwei [mm]?[/mm] herauszufinden.
> > Tipp: sie sind von [mm]t[/mm] abhängig.
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> Danke für die Hilfe. Ich denke mal das es [mm]-1 \leq s \leq 1[/mm]
> heißen muss oder?
Nein: wie gesagt, die Grenzen hängen vom konkreten Wert von $t$ ab. Deine Grenzen sind nur für $t=0$ richtig.
Du kannst es Dir entweder aufzeichnen, oder aus der Symmetrie folgern, dass die Grenzen symmetrisch zu null sind, und die Tatsachen ausnützen, dass die Fläche unter [mm]f_{X}(s|Y=t)=\frac{1}{2(1-|t|)}[/mm] eins sein muss.
Gruss,
Hanspeter
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