allgemeine lösung < Ordinary Differential Equations < Differential Equations < Uni-Calculus < University < Maths <
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(Question) answered  | | Date: | 12:37 Sa 07/01/2012 | | Author: | meely |
| Aufgabe | berechnet wird y von:
y'=(cos(t))y-cos(t) |
hey ihr lieben :)
ich habe dieses Bsp. ohne probleme lösen können:
y'=(cos(t))y-cos(t)=cos(t)*(y-1)
[mm] \frac{y'}{y-1}=cos(t)
[/mm]
ln(y-1)=cos(t)+C
[mm] y=C*e^{cos(t)}+1
[/mm]
mein professor hat dieses bsp allerdings so berechnet:
y'=(cos(t))y-cos(t)
[mm] y(t)=yh(t)+yp(t)=C*exp(\integral_{0}^{T}{cos(T)dT})-\integral_{0}^{T}{exp(\integral_{s}^{t}{cos(T)dT})cos(s)ds}
[/mm]
[mm] =C*e^{sin(t)}-\integral_{0}^{t}{e^{sin(t)-sin(s)}*cos(s)ds}
[/mm]
bis hier hin ist mir alles vollkommen klar :)
nun berechnet er das integral [mm] \integral_{0}^{t}{e^{sin(t)-sin(s)}*cos(s)ds}
[/mm]
[mm] =e^{sin(t)}(1-e^{-sin(t)})=e^{sin(t)}-1
[/mm]
auch noch vollkommen klar :)
nun meint er dass die allgemeine lösung [mm] y(t)=C*e^{sin(t)}+1 [/mm] lautet. - also genau dass was ich auf meine weise berechnet habe.
ich verstehe nur nicht wie er aus dem integral daraus schließen kann denn:
[mm] y(t)=yh(t)+yp(t)=C*e^{sin(t)}-\integral_{0}^{t}{e^{sin(t)-sin(s)}*cos(s)ds}=C*e^{sin(t)}-e^{sin(t)}+1 \not= C*e^{sin(t)}+1 [/mm] ?!
ich kanns nicht nachvollziehen, auch wenn ichs auf meine (einfachere) art berechnen kann :(
vielleicht könnt ihr mir klarheit verschaffen :)
liebe grüße meely :)
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(Answer) finished  | | Date: | 12:51 Sa 07/01/2012 | | Author: | leduart |
Hallo
dein Prof hat
[mm] C\cdot{}e^{sin(t)}-e^{sin(t)}+1=e^{sin(t)}(C-1)+1
[/mm]
und C-1=C^* ist wieder ne Konstante C
das ist alles.
Gruss leduart
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(Statement) No reaction required  | | Date: | 13:03 Sa 07/01/2012 | | Author: | meely |
> Hallo
> dein Prof hat
> [mm]C\cdot{}e^{sin(t)}-e^{sin(t)}+1=e^{sin(t)}(C-1)+1[/mm]
> und C-1=C^* ist wieder ne Konstante C
> das ist alles.
> Gruss leduart
>
Hey :) achso, vielen dank. also wäre [mm] C*e^{sin(t)}-e^{sin(t)}+1 [/mm] ebenfalls eine korrekte lösung :)
hast mir sehr geholfen :)
liebe grüße meely
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> nun meint er dass die allgemeine lösung
> [mm]y(t)=C*e^{sin(t)}+1[/mm] lautet. - also genau dass was ich auf
> meine weise berechnet habe.
> ich verstehe nur nicht wie er aus dem integral daraus
> schließen kann denn:
>
> [mm]y(t)=yh(t)+yp(t)=C*e^{sin(t)}-\integral_{0}^{t}{e^{sin(t)-sin(s)}*cos(s)ds}=C*e^{sin(t)}-e^{sin(t)}+1 \not= C*e^{sin(t)}+1[/mm]
> ?!
>
> ich kanns nicht nachvollziehen, auch wenn ichs auf meine
> (einfachere) art berechnen kann :(
>
> vielleicht könnt ihr mir klarheit verschaffen :)
>
> liebe grüße meely :)
>
[mm]y(t)=yh(t)+yp(t)=C*e^{sin(t)}-\integral_{0}^{t}{e^{sin(t)-sin(s)}*cos(s)ds}=C*e^{sin(t)}-e^{sin(t)}+1 = C*e^{sin(t)}+1[/mm]
wenn du genau hinschaust ;) kannst ja auch mal in wolframalpha oder mathematica eintippen.
LG Scherzkrapferl
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