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absolut stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:40 Fr 28.11.2014
Autor: questionpeter

Aufgabe
Seien (X, [mm] \mathcal{A}) [/mm] ein Messraum und [mm] \mu,\nu,\lambda [/mm] Maße auf [mm] \mathcal{A}. [/mm] Zeige:

a) [mm] \nu \ll \mu, \nu \perp \mu \Rightarrow \nu=0 [/mm]

b) [mm] \lambda \ll \nu, \nu \ll \mu \Rightarrow \lambda \ll \mu [/mm]

Hallo zusammen,

zu a) da [mm] \nu \ll \mu [/mm] gilt heiß das dass [mm] \mu(A)=0 \Rightarrow \nu(A)=0 [/mm] für A [mm] \in \mathcal{A}, [/mm] d.h jede [mm] \mu-Nullmenge [/mm] ist auch eine [mm] \nu-Nullmenge [/mm]

zudem kommt [mm] \nu \perp \mu [/mm] d.h. es gibt eine disjunkte Zerlegung von X=A [mm] \cup [/mm]  B in messbaren Mengen sodass [mm] \mu(B)=0 [/mm] und [mm] \nu(A)=0 [/mm]

folgt nicht dann dass [mm] \nu=0 [/mm] ist?

zub) ist es nicht wie bei einer hinetreinanderausführung?

bin für jeden Tipp dankbar.

        
Bezug
absolut stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:27 Sa 29.11.2014
Autor: andyv

Hallo

> Seien (X, [mm]\mathcal{A})[/mm] ein Messraum und [mm]\mu,\nu,\lambda[/mm]
> Maße auf [mm]\mathcal{A}.[/mm] Zeige:
>  
> a) [mm]\nu \ll \mu, \nu \perp \mu \Rightarrow \nu=0[/mm]
>  
> b) [mm]\lambda \ll \nu, \nu \ll \mu \Rightarrow \lambda \ll \mu[/mm]
>  
> Hallo zusammen,
>  
> zu a) da [mm]\nu \ll \mu[/mm] gilt heiß das dass [mm]\mu(A)=0 \Rightarrow \nu(A)=0[/mm]
> für A [mm]\in \mathcal{A},[/mm] d.h jede [mm]\mu-Nullmenge[/mm] ist auch
> eine [mm]\nu-Nullmenge[/mm]
>
> zudem kommt [mm]\nu \perp \mu[/mm] d.h. es gibt eine disjunkte
> Zerlegung von X=A [mm]\cup[/mm]  B in messbaren Mengen sodass
> [mm]\mu(B)=0[/mm] und [mm]\nu(A)=0[/mm]
>  
> folgt nicht dann dass [mm]\nu=0[/mm] ist?

Ja, es folgt [mm] $\nu(X)=0$, [/mm] also [mm] $\nu=0$ [/mm]

>  
> zub) ist es nicht wie bei einer hinetreinanderausführung?

Aehnlich, ja.

>  
> bin für jeden Tipp dankbar.

Liebe Grüße


Bezug
        
Bezug
absolut stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:51 Sa 29.11.2014
Autor: tobit09

Hallo questionpeter!


> Seien (X, [mm]\mathcal{A})[/mm] ein Messraum und [mm]\mu,\nu,\lambda[/mm]
> Maße auf [mm]\mathcal{A}.[/mm] Zeige:
>  
> a) [mm]\nu \ll \mu, \nu \perp \mu \Rightarrow \nu=0[/mm]
>  
> b) [mm]\lambda \ll \nu, \nu \ll \mu \Rightarrow \lambda \ll \mu[/mm]


> zu a) da [mm]\nu \ll \mu[/mm] gilt heiß das dass [mm]\mu(A)=0 \Rightarrow \nu(A)=0[/mm]
> für A [mm]\in \mathcal{A},[/mm] d.h jede [mm]\mu-Nullmenge[/mm] ist auch
> eine [mm]\nu-Nullmenge[/mm]
>
> zudem kommt [mm]\nu \perp \mu[/mm] d.h. es gibt eine disjunkte
> Zerlegung von X=A [mm]\cup[/mm]  B in messbaren Mengen sodass
> [mm]\mu(B)=0[/mm] und [mm]\nu(A)=0[/mm]
>  
> folgt nicht dann dass [mm]\nu=0[/mm] ist?

Genau das ist zu zeigen!

Warum gilt [mm] $\nu(C)=0$ [/mm] für alle [mm] $C\in\mathcal{A}$? [/mm]

Wie andyv schon schrieb: Es genügt dafür [mm] $\nu(X)=0$ [/mm] zu zeigen, denn dann folgt [mm] $0\le\nu(C)\le\nu(X)=0$ [/mm] für alle [mm] $C\in\mathcal{A}$. [/mm]

Zeige nun [mm] $\nu(X)=0$! [/mm]


Seien [mm] $A,B\in\mathcal{A}$ [/mm] obige disjunkte Mengen mit [mm] $\mu(B)=0$ [/mm] und [mm] $\nu(A)=0$. [/mm]

Was weißt du über [mm] $\nu(B)$? [/mm]

Wie hängt [mm] $\nu(X)$ [/mm] mit [mm] $\nu(A)$ [/mm] und [mm] $\nu(B)$ [/mm] zusammen?


> zub) ist es nicht wie bei einer hinetreinanderausführung?

(Was meinst du damit?)

> bin für jeden Tipp dankbar.

Mache dir zunächst wieder die Definition der drei [mm] $\ll$-Aussagen [/mm] klar.

Die zu Zeigende lautet z.B.:

Für alle [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $\mu(A)=0$ [/mm] gilt auch [mm] $\lambda(A)=0$. [/mm]

Sei also [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $\mu(A)=0$. [/mm]
Zu zeigen ist [mm] $\lambda(A)=0$. [/mm]

Wende dazu [mm] $\nu\ll\mu$ [/mm] und [mm] $\lambda\ll\nu$ [/mm] auf $A$ an!


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
absolut stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 So 30.11.2014
Autor: questionpeter

zu a) d.h. da mit [mm] \nu \\ll \mu ,\mu(A)=0 [/mm] auch [mm] \nu [/mm] (A)=0 folgt und da es eine disjunkte mengen gibt mit [mm] X=A\cup [/mm] B d.h [mm] \mu(B)=0 [/mm] und [mm] \nu(A)=0 [/mm]

erhalten wir doch [mm] \mu(X)=0 [/mm] wegen der bedingung [mm] \nu \ll \mu [/mm] folt dann auch [mm] \nu(X)=0 [/mm]

ist das richtig?

Bezug
                        
Bezug
absolut stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:06 Mo 01.12.2014
Autor: tobit09


> zu a) d.h. da mit [mm]\nu \ll \mu ,\mu(A)=0[/mm] auch [mm]\nu[/mm] (A)=0
> folgt und da es eine disjunkte mengen gibt mit [mm]X=A\cup[/mm] B
> d.h [mm]\mu(B)=0[/mm] und [mm]\nu(A)=0[/mm]
>  
> erhalten wir doch [mm]\mu(X)=0[/mm]

Nein, [mm] $\mu(X)=0$ [/mm] gilt im Allgemeinen nicht.


> wegen der bedingung [mm]\nu \ll \mu[/mm]
> folt dann auch [mm]\nu(X)=0[/mm]

Folgerichtig.


Ich schrieb als Anleitung für den Beweis von [mm] $\nu(X)=0$: [/mm]

> Seien $ [mm] A,B\in\mathcal{A} [/mm] $ obige disjunkte Mengen mit $ [mm] \mu(B)=0 [/mm] $ und $ [mm] \nu(A)=0 [/mm] $.
>
> Was weißt du über $ [mm] \nu(B) [/mm] $?

Verwende [mm] $\nu\ll\mu$ [/mm] zu und [mm] $\mu(B)=0$. [/mm]

> Wie hängt $ [mm] \nu(X) [/mm] $ mit $ [mm] \nu(A) [/mm] $ und $ [mm] \nu(B) [/mm] $ zusammen?

Verwende die Additivität von [mm] $\nu$. [/mm]

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