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Zwischenwerteigenschaft: Abgeschlossenheit von f^-1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 So 20.12.2015
Autor: anil_prim

Hallo zusammen,
wir haben folgende Aufgabe:

f: [a,b] --> [mm] \IR [/mm] mit Zwischenwerteigenschaft. zz: f [mm] \in [/mm] C [a,b] [mm] \gdw [/mm] Für jedes r [mm] \in \IQ [/mm] ist die Menge f^-1 ({r}) abgeschlossen.

_________________

Wir wissen, dass für alle c,d [mm] \in [/mm] [a,b] und alle [mm] \eta [/mm] zwischen f(c) und f(d) ein [mm] \xi [/mm] zwischen c und d mit [mm] f(\xi)= \eta [/mm] gibt.

Kann uns jemand einen Tipp geben, wie man weiter vorgehen kann?

Vielen Dank,
Anil  

        
Bezug
Zwischenwerteigenschaft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:03 Mo 21.12.2015
Autor: Ladon

Du musst, wie so oft bei Äquivalenzen, die Hin- und Rückrichtung zeigen.
Bei der "Hinrichtung" (schlechter Begriff ;-)) gebe ich den Tipp die topologische Charakterisierung von Stetigkeit zu betrachten. Das Urbild abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
Für die Rückrichtung brauchst du die Zwischenwerteigenschaft.

VG
Ladon

Bezug
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