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| Aufgabe | Seien $X$ und $Y$ zwei unabhängige Zufallsvariablen mit Werten in [mm] $\mathbb{N}$. [/mm]
Für $k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] $ sei $P(X=k) = [mm] \dfrac{1}{2^k}$ [/mm] und $P(Y=k) = [mm] \frac{3}{4^k}$ [/mm] Bestimme
a) [mm] $P(\max(X,Y) \leq [/mm] k) $
b) [mm] $P(\min(X,Y) \leq [/mm] k )$
c) $P(X+Y = k)$
d) $P(X < Y) $ |
Hi
erstmal mein Lösungsvorschlag:
a)
[mm] $P(\max(X,Y) \leq [/mm] k) = P(X [mm] \leq [/mm] k, Y [mm] \leq [/mm] k) = P(X [mm] \leq [/mm] k) * P(Y [mm] \leq [/mm] k) = [mm] \sum_{i=1}^k \frac{1}{2^i} [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^k \frac{3}{4^i} [/mm] $
b)
$ [mm] P(\min(X,Y) \leq [/mm] k) = 1 - [mm] P(\min(X,Y) [/mm] > k) = $
$ 1 - P(X > k, Y > k) = 1 - P(X>k)*P(Y>k) = $
$ 1 - (1 - P(X [mm] \leq [/mm] k)) * (1 - P(Y [mm] \leq [/mm] k)) = $
$ 1 - ( 1 - [mm] \sum_{i=1}^k \frac{1}{2^i}) [/mm] * ( 1 - [mm] \sum_{i=1}^k \frac{3}{4^i}) [/mm] $
c)
$P(X+Y = k) = P(X=a, Y=b) = P(X=a)*P(Y=b) ) = [mm] \frac{1}{2^a} [/mm] * [mm] \frac{3}{4^b} [/mm] $ wobei $ k = a+b $ gelten soll.
Stimmt das soweit?
Bei d) weiss ich leider nicht recht wie ich überhaupt anfangen soll, denn ich weiss nicht wie ich $ X < Y $ passend umformen kann. Vielleicht so?
$P(X < Y) = P(Y-X > 0) = P(Y + (-X) > 0 = 1 - P(Y + (-X) [mm] \leq [/mm] 0) = ??? $
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:32 Do 01.12.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo mathenoob3000!
Die Teilaufgaben a) und b) hast du richtig gelöst. (Die Lösungen kann man am Ende vereinfachen.) Die Teilaufgaben c) und d) hast Du falsch gelöst. Ich gebe Dir einen Tipp zur Teilaufgabe c). Die Teilaufgabe d) machen wir dann später bzw. Du kannst sie Dir dann selbst noch einmal überlegen.
Tipp:
[mm] $\{X+Y=k\}=\bigcup_{i=1}^{k-1}\{X=i,Y=k-i\}$.
[/mm]
1. Überzeuge Dich vom Tipp.
2. Was ist nun $P(X+Y=k)$?
Gruß
DieAcht
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> Hallo mathenoob3000!
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Hi
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> Die Teilaufgaben a) und b) hast du richtig gelöst. (Die
> Lösungen kann man am Ende vereinfachen.)
Bei der a) hab ich einen Fehler: Es muss
$ [mm] P(\max(X,Y) \leq [/mm] k) = P(X [mm] \leq [/mm] k, Y [mm] \leq [/mm] k) = P(X [mm] \leq [/mm] k) [mm] \cdot{} [/mm] P(Y [mm] \leq [/mm] k) = [mm] \sum_{i=1}^k \frac{1}{2^i} [/mm] * [mm] \sum_{i=1}^k \frac{3}{4^i} [/mm] $
heissen. Und das kann man dann noch so vereinfachen:
$ [mm] \sum_{i=1}^k \frac{1}{2^i} [/mm] * [mm] \sum_{i=1}^k \frac{3}{4^i} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k \frac{1}{2^i} [/mm] * [mm] \frac{3}{4^j} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k \frac{3}{2^{i+2j}} [/mm] $
bei der b)
$ 1 - (1 - P(X [mm] \leq [/mm] k)) [mm] \cdot{} [/mm] (1 - P(Y [mm] \leq [/mm] k)) = P( [mm] X\leq [/mm] k) + P( Y [mm] \leq [/mm] k) - P(X [mm] \leq [/mm] k, [mm] Y\leq [/mm] k) = [mm] \sum_{i=1}^k \frac{2^i + 3}{4^i} [/mm] - [mm] \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k \frac{3}{2^{i+2j}} [/mm] $
> Die Teilaufgaben
> c) und d) hast Du falsch gelöst. Ich gebe Dir einen Tipp
> zur Teilaufgabe c). Die Teilaufgabe d) machen wir dann
> später bzw. Du kannst sie Dir dann selbst noch einmal
> überlegen.
>
> Tipp:
>
> [mm]\{X+Y=k\}=\bigcup_{i=1}^{k-1}\{X=i,Y=k-i\}[/mm].
>
> 1. Überzeuge Dich vom Tipp.
> 2. Was ist nun [mm]P(X+Y=k)[/mm]?
>
>
Danke für den Tipp:
Also:
$P( X + Y = k) = [mm] P(\bigcup_{i=1}^{k-1} \{X=i,Y=k-i\}) \stackrel{(\*)}{=} \sum_{i=1}^{k-1} [/mm] P(X=i, Y=k-i) = [mm] \sum_{i=1}^{k-1}P(X=i)*P(Y=k-i) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{k-1} \frac{1}{2^i} \frac{3}{4^{k-i}} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{k-1} \frac{3}{2^{2k-i}}$
[/mm]
Bei [mm] $(\*)$ [/mm] weiss ich nicht ob ich das machen darf, weil ich nicht weiss ob die Mengen disjunkt sind. Ich glaube je eigentlich nicht dass sie disjunkt sind, aber ich weiss leider nicht wie ich das sonst alles umformen soll. (Außer natürlich mit [mm] $\leq$ [/mm] statt $=$)
zu d)
$ [mm] \{ X < Y \} [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{k-1} \{ X = i, Y = k \} [/mm] $ für ein beliebiges $k [mm] \in \mathbb{N}$
[/mm]
aber dann das gleiche Problem wie bei c) weil ich nicht weiss ob die Mengen disjunkt sind.
> Gruß
> DieAcht
lg
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Hallo,
nur eine kurze Anmerkung:
> Bei der a) hab ich einen Fehler: Es muss
> [mm]P(\max(X,Y) \leq k) = P(X \leq k, Y \leq k) = P(X \leq k) \cdot{} P(Y \leq k) = \sum_{i=1}^k \frac{1}{2^i} * \sum_{i=1}^k \frac{3}{4^i}[/mm]
> heissen. Und das kann man dann noch so vereinfachen:
> [mm]\sum_{i=1}^k \frac{1}{2^i} * \sum_{i=1}^k \frac{3}{4^i} = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k \frac{1}{2^i} * \frac{3}{4^j} = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k \frac{3}{2^{i+2j}}[/mm]
Benutze doch die Formel für die endliche geometrische Reihe oder geometrische Summenformel oder wie die heißt, um die Summen oben zu berechnen ... Da brauchst du keine Doppelsumme
[mm]\sum\limits_{i=0}^{k}q^{i}=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}[/mm]für [mm] $q\neq [/mm] 1$
Also zB. [mm]\sum\limits_{i=1}^k\frac{1}{2^{i}}=\frac{1-\frac{1}{2^{k+1}}}{1-\frac{1}{2}}-1=1-\frac{1}{2^k}[/mm] modulo Rechenfehler meinerseits
Ählich kannst du die andere Summe berechnen und dann das Produkt.
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Do 01.12.2016 | | Autor: | DieAcht |
> Bei der a) hab ich einen Fehler: Es muss
> [mm]P(\max(X,Y) \leq k) = P(X \leq k, Y \leq k) = P(X \leq k) \cdot{} P(Y \leq k) = \sum_{i=1}^k \frac{1}{2^i} * \sum_{i=1}^k \frac{3}{4^i}[/mm]
> heissen.
Gut aufgepasst! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und das kann man dann noch so vereinfachen:
> [mm]\sum_{i=1}^k \frac{1}{2^i} * \sum_{i=1}^k \frac{3}{4^i} = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k \frac{1}{2^i} * \frac{3}{4^j} = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k \frac{3}{2^{i+2j}}[/mm]
Siehe Mitteilung von schachuzipus.
> bei der b)
>
> [mm]1 - (1 - P(X \leq k)) \cdot{} (1 - P(Y \leq k)) = P( X\leq k) + P( Y \leq k) - P(X \leq k, Y\leq k)[/mm]
Richtig.
Übrigens sind beide Lösungswege richtig; Bei beiden fängt man an mit
[mm] $P(\min(X,Y)\le k)=\ldots=1-(1-P(X\le k))(1-P(Y\le [/mm] k))$
und folgert
[mm] $1-(1-P(X\le k))(1-P(Y\le k))=1-\left(1-\sum_{i=1}^{k}P(X=i)\right)\left(1-\sum_{i=1}^{k}P(Y=i)\right)=\sum_{i=1}^{k}P(X=i)+\sum_{i=1}^{k}P(Y=i)-\left(\sum_{i=1}^{k}P(X=i)\right)\left(\sum_{i=1}^{k}P(Y=i)\right)=\ldots$
[/mm]
bzw.
[mm] $1-(1-P(X\le k))(1-P(Y\le k))=P(X\le k)+P(Y\le k)-P(X\le k)*P(Y\le k)=\sum_{i=1}^{k}P(X=i)+\sum_{i=1}^{k}P(Y=i)-\left(\sum_{i=1}^{k}P(X=i)\right)\left(\sum_{i=1}^{k}P(Y=i)\right)=\ldots$.
[/mm]
Am Ende ist das Geschmackssache. 
> $= [mm] \sum_{i=1}^k \frac{2^i + 3}{4^i} [/mm] - [mm] \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k \frac{3}{2^{i+2j}}$
[/mm]
Siehe Mitteilung von schachuzipus.
> > Tipp:
> >
> > [mm]\{X+Y=k\}=\bigcup_{i=1}^{k-1}\{X=i,Y=k-i\}[/mm].
> >
> > 1. Überzeuge Dich vom Tipp.
> > 2. Was ist nun [mm]P(X+Y=k)[/mm]?
> >
> >
> Danke für den Tipp:
>
> Also:
> [mm]P( X + Y = k) = P(\bigcup_{i=1}^{k-1} \{X=i,Y=k-i\}) \stackrel{(\*)}{=} \sum_{i=1}^{k-1} P(X=i, Y=k-i) = \sum_{i=1}^{k-1}P(X=i)*P(Y=k-i)[/mm]
Richtig.
> [mm]= \sum_{i=1}^{k-1} \frac{1}{2^i} \frac{3}{4^{k-i}}\sum_{i=1}^{k-1} \frac{3}{2^{2k-i}}[/mm]
Siehe Mitteilung von schachuzipus.
> Bei [mm](\*)[/mm] weiss ich nicht ob ich das machen darf, weil ich
> nicht weiss ob die Mengen disjunkt sind. Ich glaube je
> eigentlich nicht dass sie disjunkt sind, aber ich weiss
> leider nicht wie ich das sonst alles umformen soll. (Außer
> natürlich mit [mm]\leq[/mm] statt [mm]=[/mm])
Wir setzen
[mm] $A_k=\bigcap_{i=1}^{k-1}\{X=i,Y=k-i\}$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$.
[/mm]
Zu zeigen ist
[mm] $A_m\cap A_n=\emptyset$ [/mm] für alle [mm] $m,n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $m\not=n$.
[/mm]
Seien also [mm] $m,n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $m\not=n$. [/mm] Dann gilt
[mm] $A_m\cap A_n
[/mm]
[mm] $=\left(\bigcap_{i=1}^{m-1}\{X=i,Y=m-i\}\right)\bigcap\left(\bigcap_{i=1}^{n-1}\{X=i,Y=n-i\}\right)$
[/mm]
[mm] $=\left(\{X=1,Y=m-1\}\cap\ldots\cap\{X=m-1,Y=1\}\right)\cap\left(\{X=1,Y=n-1\}\cap\ldots\cap\{X=n-1,Y=1\}\right)$.
[/mm]
Wegen [mm] $m\not=n$ [/mm] folgt
[mm] $\{X-1,Y=m-1\}\cap\{X-1,Y=n-1\}=\emptyset,\ldots,\{X=m-1,Y=1\}\cap\{X=n-1,Y=1\}=\emptyset$
[/mm]
und somit
[mm] $A_m\cap A_n=\emptyset$ [/mm] für alle [mm] $m,n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $m\not=n$.
[/mm]
> zu d)
>
> [mm]\{ X < Y \} = \bigcup_{i=1}^{k-1} \{ X = i, Y = k \}[/mm] für
> ein beliebiges [mm]k \in \mathbb{N}[/mm]
Was hast Du denn hier angestellt? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Welche Möglichkeiten gibt es denn? [mm] $X=1\$ [/mm] und [mm] $Y=2\$ [/mm] ist bspw. eine Möglichkeit...
Tipp: Du wirst zwei [mm] $\bigcup$ [/mm] benötigen.
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> Wir setzen
>
> [mm]A_k=\bigcap_{i=1}^{k-1}\{X=i,Y=k-i\}[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm].
>
> Zu zeigen ist
>
> [mm]A_m\cap A_n=\emptyset[/mm] für alle [mm]m,n\in\IN[/mm] mit [mm]m\not=n[/mm].
>
> Seien also [mm]m,n\in\IN[/mm] mit [mm]m\not=n[/mm]. Dann gilt
>
> [mm]$A_m\cap A_n[/mm]
>
> [mm]=\left(\bigcap_{i=1}^{m-1}\{X=i,Y=m-i\}\right)\bigcap\left(\bigcap_{i=1}^{n-1}\{X=i,Y=n-i\}\right)[/mm]
>
> [mm]=\left(\{X=1,Y=m-1\}\cap\ldots\cap\{X=m-1,Y=1\}\right)\cap\left(\{X=1,Y=n-1\}\cap\ldots\cap\{X=n-1,Y=1\}\right)[/mm].
>
> Wegen [mm]m\not=n[/mm] folgt
>
> [mm]\{X-1,Y=m-1\}\cap\{X-1,Y=n-1\}=\emptyset,\ldots,\{X=m-1,Y=1\}\cap\{X=n-1,Y=1\}=\emptyset[/mm]
>
> und somit
>
> [mm]A_m\cap A_n=\emptyset[/mm] für alle [mm]m,n\in\IN[/mm] mit [mm]m\not=n[/mm].
>
Ah ok, sehr schön. Danke.
> > zu d)
> >
> > [mm]\{ X < Y \} = \bigcup_{i=1}^{k-1} \{ X = i, Y = k \}[/mm] für
> > ein beliebiges [mm]k \in \mathbb{N}[/mm]
>
> Was hast Du denn hier angestellt?
>
> Welche Möglichkeiten gibt es denn? [mm]X=1\[/mm] und [mm]Y=2\[/mm] ist bspw.
> eine Möglichkeit...
>
> Tipp: Du wirst zwei [mm]\bigcup[/mm] benötigen.
Stimmt, also müsste es dann so sein:
$ [mm] \{ X < Y \} [/mm] = [mm] \bigcup_{i = 1}^{ \infty } [/mm] ( [mm] \bigcup_{j=i+1}^{\infty} \{ X=i, Y=j\})$
[/mm]
Und dann muss da nochmal disjunktheit zeigen, mache ich morgen :)
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:21 So 04.12.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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