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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Windschiefe Geraden
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Windschiefe Geraden: Rückfrage,Korrektur, Tipp,Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Mo 04.12.2017
Autor: Dom_89

Aufgabe
Gegeben sind die folgenden vier Punkte:

A= (2,0,-1) ; B=(1,-1,0) ; C=(0,2,1) und D=(1,0,1)

a) Bestimme die Parameterform der Geraden [mm] g_{1} [/mm] durch A und B sowie der Geraden [mm] g_{2} [/mm] durch C und D

b) Zeige, dass [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2} [/mm] windschief zueinander stehen

c) Berechne den Abstand der beiden Geraden zueinander

Hallo,

hier einmal mein Vorgehen:

a)

[mm] g_{1} [/mm] = [mm] \overrightarrow{A} [/mm] + [mm] \lambda(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-1 \\ -1 \\ 1} [/mm]

[mm] g_{2} [/mm] = [mm] \overrightarrow{C} [/mm] + [mm] \mu(\overrightarrow{D}-\overrightarrow{C}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] + [mm] \mu \vektor{1 \\ -2 \\ 0} [/mm]

b)

1.

Auf Kolinearität prüfen: [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 1} [/mm] = r [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0} [/mm] --> Da nicht möglich sind die Geraden windschief oder schneiden sich

2.

[mm] 2-\lambda [/mm] = [mm] \mu [/mm]
[mm] -\lambda [/mm] = [mm] 2-2\mu [/mm]
[mm] -1+\lambda [/mm] = 1

--> [mm] \pmat{ -1 & -1 | -2 \\ -1 & 2 | 2 \\ 1 & 0 | 0} [/mm]

Da kein wahre Aussage sind die Geraden windschief

c)

E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] + [mm] \mu \vektor{1 \\ -2 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-1 \\ -1 \\ 1} [/mm]

[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 1} [/mm] X [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3} [/mm]

[mm] \vmat{ \vec{n}} [/mm] = [mm] \wurzel{2^{2}+1^{2}+3^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{14} [/mm]

--> [mm] 2x_{1}+x_{2}+3x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{14} } [/mm] = [mm] \bruch{2}{\wurzel{14} }x_{1}+\bruch{1}{\wurzel{14} }x_{2}+\bruch{3}{\wurzel{14} }x_{3} [/mm]


Ist das soweit in Ordnung, oder muss noch etwas verändert werden?

Vielen Dank für eure Hilfe!

        
Bezug
Windschiefe Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Mo 04.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Gegeben sind die folgenden vier Punkte:

>

> A= (2,0,-1) ; B=(1,-1,0) ; C=(0,2,1) und D=(1,0,1)

>

> a) Bestimme die Parameterform der Geraden [mm]g_{1}[/mm] durch A und
> B sowie der Geraden [mm]g_{2}[/mm] durch C und D

>

> b) Zeige, dass [mm]g_{1}[/mm] und [mm]g_{2}[/mm] windschief zueinander
> stehen

>

> c) Berechne den Abstand der beiden Geraden zueinander
> Hallo,

>

> hier einmal mein Vorgehen:

>

> a)

>

> [mm]g_{1}[/mm] = [mm]\overrightarrow{A}[/mm] +
> [mm]\lambda(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A})[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ -1}[/mm]
> + [mm]\lambda \vektor{-1 \\ -1 \\ 1}[/mm]

>

> [mm]g_{2}[/mm] = [mm]\overrightarrow{C}[/mm] +
> [mm]\mu(\overrightarrow{D}-\overrightarrow{C})[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> + [mm]\mu \vektor{1 \\ -2 \\ 0}[/mm]

>

Das passt. [ok]

(Sorry für die 'verrupften Zitate', da spinnt mal wieder die Forensoftware, wie es ausschaut...)


> b)

>

> 1.

>

> Auf Kolinearität prüfen: [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ 1}[/mm] = r
> [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 0}[/mm] --> Da nicht möglich sind die
> Geraden windschief oder schneiden sich

>

> 2.

>

> [mm]2-\lambda[/mm] = [mm]\mu[/mm]
> [mm]-\lambda[/mm] = [mm]2-2\mu[/mm]
> [mm]-1+\lambda[/mm] = 1

>

> --> [mm]\pmat{ -1 & -1 | -2 \\ -1 & 2 | 2 \\ 1 & 0 | 0}[/mm]

>

> Da kein wahre Aussage sind die Geraden windschief

Auch das ist richtig gerechnet.
Es stimmt nicht ganz. Dein LGS ist korrekt, die Matrix nicht (siehe meine zweite Antwort).
Auch könntest du (mit der korrekten Matrix oder dem LGS) noch ein wenig weiterrechnen, damit die leere Lösungsmenge noch offensichtlicher wird.

>

> c)

>

> E: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm] + [mm]\mu \vektor{1 \\ -2 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\lambda \vektor{-1 \\ -1 \\ 1}[/mm]

>

> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ 1}[/mm] X [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 0}[/mm] =
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 3}[/mm]

>

> [mm]\vmat{ \vec{n}}[/mm] = [mm]\wurzel{2^{2}+1^{2}+3^{2}}[/mm] = [mm]\wurzel{14}[/mm]

>

> --> [mm]2x_{1}+x_{2}+3x_{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{14} }[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{\wurzel{14} }x_{1}+\bruch{1}{\wurzel{14} }x_{2}+\bruch{3}{\wurzel{14} }x_{3}[/mm]

>
>

> Ist das soweit in Ordnung, oder muss noch etwas verändert
> werden?

Hier bist du aber noch nicht ganz fertig. Du hast die Gleichung einer Ebene aufgestellt, die von den Richtungsvektoren von [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] aufgespannt wird und die [mm] g_2 [/mm] enthält. Die erhaltenen Ebenengleichungen sind richtig. Jetzt musst du aber mit der Formel für den Abstand Punkt-Ebene noch den Abstand der beiden Geraden berechnen. Als Punkt musst du dabei den Schnittpunkt von [mm] g_1 [/mm] mit E* den Stützvektor von [mm] g_1 [/mm] verwenden, da [mm] g_2 [/mm] ja in der Ebene liegt.


Gruß, Diophant

*Sorry, die durchgestrichene Version war Uninn.

Bezug
                
Bezug
Windschiefe Geraden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Di 05.12.2017
Autor: Dom_89

Hallo,

vielen Dank für die schnelle Antwort!

Ich habe dazu noch zwei Fragen:

zu b) Hier verstehe ich nicht wirklich wie ich weiter vorgehen muss, damit das ganze noch offensichtlicher wird?

zu c)

Ich hoffe, ich habe deinen Rat richtig verstanden - hier einmal mein weiteres Vorgehen:

d = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1}*\vektor{\bruch{2}{\wurzel{14}} \\ \bruch{1}{\wurzel{14}} \\ \bruch{3}{\wurzel{14}}} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{0}{\wurzel{14}} \\ \bruch{2}{\wurzel{14}} \\ \bruch{3}{\wurzel{14}}} [/mm] = [mm] \bruch{5}{\wurzel{14}} [/mm]

[mm] \vec{n}_{0} [/mm] = [mm] \bruch{2}{\wurzel{14}}x_{1}+\bruch{1}{\wurzel{14}}x_{2}+\bruch{3}{\wurzel{14}}x_{3}=\bruch{5}{\wurzel{14}} [/mm]

[mm] dg(g_{1},g_{2}) [/mm] = [mm] \vmat{ <\vektor{\bruch{2}{\wurzel{14}} \\ \bruch{1}{\wurzel{14}} \\ \bruch{3}{\wurzel{14}}} * \vektor{2 \\ 0 \\ 1}>-\bruch{5}{\wurzel{14}}} [/mm] =  [mm] \vmat{ \vektor{\bruch{4}{\wurzel{14}} \\ \bruch{0}{\wurzel{14}} \\ \bruch{3}{\wurzel{14}}}-\bruch{5}{\wurzel{14}}} [/mm] = [mm] \vmat{\bruch{1}{\wurzel{14}}-\bruch{5}{\wurzel{14}}} [/mm] = [mm] \vmat{ \bruch{-4}{\wurzel{14}}} [/mm] = [mm] \bruch{4}{\wurzel{14}} [/mm]

Vielen Dank für die Hilfe!

Bezug
                        
Bezug
Windschiefe Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Di 05.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich habe dazu noch zwei Fragen:

>

> zu b) Hier verstehe ich nicht wirklich wie ich weiter
> vorgehen muss, damit das ganze noch offensichtlicher wird?

ich war da ein wenig vorschnell mit der Bestätigung der Richtigkeit. Das LGS, dass du aufgestellt hast, ist richtig. Die Umformung in die Matrix-Schreibweise ist falsch, da ist dir konkret in der letzten Zeile ein Fehler unterlaufen.

Man kann es aber leicht ohne Matrix nachrechnen:

aus (III) folgt [mm] \lambda=2 [/mm]

mit (II) folgt [mm] \mu=2 [/mm]

Beides in (I) eingesetzt ergibt

[mm] 2-2\ne{2} [/mm]

>

> zu c)

>

> Ich hoffe, ich habe deinen Rat richtig verstanden - hier
> einmal mein weiteres Vorgehen:

>

> d = [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 1}*\vektor{\bruch{2}{\wurzel{14}} \\ \bruch{1}{\wurzel{14}} \\ \bruch{3}{\wurzel{14}}}[/mm]
> = [mm]\vektor{\bruch{0}{\wurzel{14}} \\ \bruch{2}{\wurzel{14}} \\ \bruch{3}{\wurzel{14}}}[/mm]
> = [mm]\bruch{5}{\wurzel{14}}[/mm]

>

> [mm]%5Cvec%7Bn%7D_%7B0%7D[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{\wurzel{14}}x_{1}+\bruch{1}{\wurzel{14}}x_{2}+\bruch{3}{\wurzel{14}}x_{3}=\bruch{5}{\wurzel{14}}[/mm]

>

> [mm]dg(g_{1},g_{2})[/mm] = [mm]%5Cvmat%7B%20%3C%5Cvektor%7B%5Cbruch%7B2%7D%7B%5Cwurzel%7B14%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cbruch%7B1%7D%7B%5Cwurzel%7B14%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cbruch%7B3%7D%7B%5Cwurzel%7B14%7D%7D%7D%20*%20%5Cvektor%7B2%20%5C%5C%200%20%5C%5C%201%7D%3E-%5Cbruch%7B5%7D%7B%5Cwurzel%7B14%7D%7D%7D[/mm]
> = [mm]\vmat{ \vektor{\bruch{4}{\wurzel{14}} \\ \bruch{0}{\wurzel{14}} \\ \bruch{3}{\wurzel{14}}}-\bruch{5}{\wurzel{14}}}[/mm]
> = [mm]\vmat{\bruch{1}{\wurzel{14}}-\bruch{5}{\wurzel{14}}}[/mm] =
> [mm]\vmat{ \bruch{-4}{\wurzel{14}}}[/mm] = [mm]\bruch{4}{\wurzel{14}}[/mm]

>

Ja, der Abstand passt (für gewöhnlich sollte man noch die virtuelle Einheit 'LE' dahintersetzen, aber du wirst selbst am besten wissen, ob das verlangt wird oder nicht). [ok]


Gruß, Diophant

Bezug
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