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Wärmeleitungsgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 So 02.03.2014
Autor: racy90

Hallo

Ich soll eine möglichst allgemeine Lösung der Wärmleitungsgleichung [mm] u_{t}=u_{xx} [/mm] mit den Bedingungen  u (0,t)=u(1,t)=0

Nach ein bisschen Rechnen komme ich auf folgendes Ergebnis

[mm] u(x,t)=A*e^{ \lambda t}*e^{ \wurzel \lambda x}+B*e^{ \lambda t}*e^{ - \wurzel \lambda x} [/mm]

Nur wie gehe ich mit den Bedingungen um?

Ich hätte nun u(0,t)=(1,t)=0 eingesetzt und würde auf folgende 2 GL kommen

[mm] A*e^{ \lambda t}+B*e^{ \lambda t}=0 [/mm]
[mm] A*e^{ \lambda t}*e^{ \wurzel \lambda x}+B*e^{ \lambda t}*e^{ - \wurzel \lambda x}=0 [/mm]


        
Bezug
Wärmeleitungsgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 So 02.03.2014
Autor: MathePower

Hallo racy90,

> Hallo
>  
> Ich soll eine möglichst allgemeine Lösung der
> Wärmleitungsgleichung [mm]u_{t}=u_{xx}[/mm] mit den Bedingungen  u
> (0,t)=u(1,t)=0
>  
> Nach ein bisschen Rechnen komme ich auf folgendes Ergebnis
>  
> [mm]u(x,t)=A*e^{ \lambda t}*e^{ \wurzel \lambda x}+B*e^{ \lambda t}*e^{ - \wurzel \lambda x}[/mm]
>  


Das ist doch nur die Lösung, wenn [mm]\lambda > 0[/mm].

Es gibt auch noch Lösungen für [mm]\lambda=0, \ \lambda < 0[/mm].


> Nur wie gehe ich mit den Bedingungen um?
>  
> Ich hätte nun u(0,t)=(1,t)=0 eingesetzt und würde auf
> folgende 2 GL kommen

>


Setze die Anfangsbedingungen in die Lösungsfunktionen ein,
und schaue ob etwas sinnvolles herauskommt.

  

> [mm]A*e^{ \lambda t}+B*e^{ \lambda t}=0[/mm]
>  [mm]A*e^{ \lambda t}*e^{ \wurzel \lambda x}+B*e^{ \lambda t}*e^{ - \wurzel \lambda x}=0[/mm]
>  


Gruss
MathePower  

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Wärmeleitungsgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 So 02.03.2014
Autor: racy90

Das sind ja meine 2 GL wenn ich die 2 Randbedingungen einsetze

[mm] A\cdot{}e^{ \lambda t}+B\cdot{}e^{ \lambda t}=0 [/mm]
[mm] A\cdot{}e^{ \lambda t}\cdot{}e^{ \wurzel \lambda x}+B\cdot{}e^{ \lambda t}\cdot{}e^{ - \wurzel \lambda x}=0 [/mm]


Aber wie soll ich hier etwas sinnvolles rausbekommen?

A=B=0 wäre die einfachste Lösung
A=-B wäre auch eine Lösung


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Wärmeleitungsgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 So 02.03.2014
Autor: MathePower

Hallo racy90,

> Das sind ja meine 2 GL wenn ich die 2 Randbedingungen
> einsetze
>  
> [mm]A\cdot{}e^{ \lambda t}+B\cdot{}e^{ \lambda t}=0[/mm]
>  
> [mm]A\cdot{}e^{ \lambda t}\cdot{}e^{ \wurzel \lambda x}+B\cdot{}e^{ \lambda t}\cdot{}e^{ - \wurzel \lambda x}=0[/mm]
>
>
> Aber wie soll ich hier etwas sinnvolles rausbekommen?
>  
> A=B=0 wäre die einfachste Lösung
>  A=-B wäre auch eine Lösung
>  


Hier hast Du nur die Lösung für [mm]\lambda >0[/mm] untersucht.

Die anderen beiden möglichen Lösungen,
das sind die Lösungen für [mm]\lambda=0[/mm] und  [mm]\lambda<0[/mm],
sind noch zu untersuchen.


Gruss
MathePower

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Wärmeleitungsgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 So 02.03.2014
Autor: racy90

Wenn ich nun den Fall [mm] \lambda [/mm] =0 untersuche sehen meine Gleichungen so aus

B=-A
[mm] B=-A*e^{2 \wurzel \lambda x} [/mm]

Für [mm] \lambda [/mm] <0 sehen sie doch so aus

B=-A
[mm] B=-A*e^{2 \wurzel \lambda x} [/mm]



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Wärmeleitungsgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 So 02.03.2014
Autor: MathePower

Hallo racy90,

> Wenn ich nun den Fall [mm]\lambda[/mm] =0 untersuche sehen meine
> Gleichungen so aus
>  
> B=-A
>  [mm]B=-A*e^{2 \wurzel \lambda x}[/mm]
>  
> Für [mm]\lambda[/mm] <0 sehen sie doch so aus
>  
> B=-A
>  [mm]B=-A*e^{2 \wurzel \lambda x}[/mm]
>  


Poste doch Deine Rechenschritte dazu.


Gruss
MathePower

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Wärmeleitungsgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 So 02.03.2014
Autor: racy90

Naja wenn [mm] \lambda [/mm] =0

Bleibt für ja nur A und B stehen weil [mm] e^{ \lambda t} [/mm] ja 1 ist also B=-A

Wenn [mm] \lambda [/mm] <0

Kann ich [mm] e^{ \lambda t} [/mm] und [mm] e^{wurzel \lambda x} [/mm] zusammenfassen und auf die andere Seite bringen.

Somit [mm] B=-Ae^{2\wurzel \lambda x} [/mm]

Aber ich bin mir sehr unsicher und lass mich hier eigentlich von Wolfram Alpha leiten :/

Bezug
                                                        
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Wärmeleitungsgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 So 02.03.2014
Autor: MathePower

Hallo racy90,

> Naja wenn [mm]\lambda[/mm] =0
>  
> Bleibt für ja nur A und B stehen weil [mm]e^{ \lambda t}[/mm] ja 1
> ist also B=-A
>  
> Wenn [mm]\lambda[/mm] <0
>  
> Kann ich [mm]e^{ \lambda t}[/mm] und [mm]e^{wurzel \lambda x}[/mm]
> zusammenfassen und auf die andere Seite bringen.
>  
> Somit [mm]B=-Ae^{2\wurzel \lambda x}[/mm]
>  
> Aber ich bin mir sehr unsicher und lass mich hier
> eigentlich von Wolfram Alpha leiten :/


Ausgehend von

[mm]u_{t}=u_{xx}[/mm]

und dem Ansatz

[mm]u\left(x,t\right)=T\left(t\right)*X\left(x\right)[/mm]

erhält man

[mm]\bruch{T'}{T}=\bruch{X''}{X}=\lambda, \ \lambda \in \IR[/mm]

bzw.

[mm]T'-\lambda*T=0[/mm]

[mm]X''-\lambda*X=0[/mm]

Jetzt löse diese DGL in Abhängigkeit von [mm]\lambda[/mm].

Für jede Lösung musst Du dann schauen,
was sich mit den geforderten Anfangsbedingungen ergibt.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
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Wärmeleitungsgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 So 02.03.2014
Autor: racy90

Also bis zu der unten angebenen Gleichung [mm] u(x,t)=A*e^{ \lambda t}*e^{ \wurzel \lambda x}+B*e^{ \lambda t}*e^{- \wurzel \lambda x} [/mm]
bin ich schon selbst gekommen aber ich kann leider nichts mit den Randbedinungen anfangen.Wie und wo ich sie einsetzen soll damit ich nun endlich eine Lösung erhalte.

Bezug
                                                                        
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Wärmeleitungsgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Mo 03.03.2014
Autor: leduart

Hallo
wie kommst du denn aus A=-B zu [mm] A=-B*e^{--}? [/mm] das passt doch nicht zusammen?
und was ist mit den neg lambda, also den Lösungen [mm] sin(|\lambda|*x) [/mm] usw?
warum gehst du nicht darauf ein? dass u=0 eine triviale Lösung ist gehört dazu..
Gruß leduart

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