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Forum "Stochastik-Sonstiges" - Verteilungsfunktion, Konvergen
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Verteilungsfunktion, Konvergen: Zufallsvariable
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 So 19.04.2015
Autor: Kosamui

Aufgabe
Bestimme die Verteilungsfunktion der Zufallsavriablen [mm] X_{n} [/mm] und finde heraus, ob die Folge für n -> [mm] \infty [/mm] in Verteilung konvergiert. Wenn ja zu welcher Verteilung, wenn nein, was passiert im Limes?

[mm] P(X_{n}=1/k)=1/n, [/mm]      k=1,...,n , n [mm] \in [/mm] N

Hallo,

Die Verteilungsfunktion ist definiert  [mm] F_{X_{n}}(t) [/mm] = P [mm] (X_{n} \le [/mm] t). Für t <0 ist P [mm] (X_{n} \le [/mm] t) = 0, weil dann ja [mm] X_{n} [/mm] null ist.
Und jetzt kommt der Fall, den ich nicht verstehe:  wenn 1 [mm] \le [/mm] t, dann ist P [mm] (X_{n} \le [/mm] t) = 1.
Wieso ist es dann 1??

Und für 1/(d+1) <t< 1/d (wobei d [mm] \in [/mm] N) ist es d/n.

Kann mir wer weiterhelfen? Danke und lg :)

        
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Verteilungsfunktion, Konvergen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:00 So 19.04.2015
Autor: luis52

Moin,

[mm] $X_n$ [/mm] nimmt die Werte [mm] $1/n,\,2/n,\,\dots,\,(n-1)/n,\,n/n=1$ [/mm] an. Dabei ist $1$ der groesste Wert. Folglich ist   [mm] $P(X_{n} \le [/mm] t) = 1$ fuer [mm] $1\le [/mm] t$.

Vielleicht hilft dir das schon auf die Spruenge ...
      

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Verteilungsfunktion, Konvergen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:58 So 19.04.2015
Autor: Kosamui

Wieso nimmt [mm] X_{n} [/mm] die Werte $ [mm] 1/n,\,2/n,\,\dots,\,(n-1)/n,\,n/n=1 [/mm] $
an? Es ist doch $ [mm] P(X_{n}=1/k)=1/n, [/mm] $, wie kommt man da auf $ [mm] 1/n,\,2/n,\,\dots,\,(n-1)/n,\,n/n=1 [/mm] $ ? Müsste es nicht 1/1,1/2,....1/n sein?
Sorry aber ich verstehe es nocht nicht.

LG und danke :)



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Verteilungsfunktion, Konvergen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 So 19.04.2015
Autor: luis52


> Wieso nimmt [mm]X_{n}[/mm] die Werte
> [mm]1/n,\,2/n,\,\dots,\,(n-1)/n,\,n/n=1[/mm]
>  an? Es ist doch [mm]P(X_{n}=1/k)=1/n, [/mm], wie kommt man da auf
> [mm]1/n,\,2/n,\,\dots,\,(n-1)/n,\,n/n=1[/mm] ? Müsste es nicht
> 1/1,1/2,....1/n sein?

Das stimmt, da war ich zu schlampig. Aber   $ [mm] P(X_{n} \le [/mm] t) = 1 $ fuer $ [mm] 1\le [/mm] t $ bleibt auch dann korrekt.

  


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Verteilungsfunktion, Konvergen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 So 19.04.2015
Autor: Kosamui

okay danke, dann ist das jz klar. Aber wieso ist 1/(d+1) <t< 1/d  im Fall sonst?

LG

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Verteilungsfunktion, Konvergen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:42 So 19.04.2015
Autor: luis52


> okay danke, dann ist das jz klar. Aber wieso ist 1/(d+1)
> <t< 1/d  im Fall sonst?

ie Vorgabe $1/(d+1) <t< 1/d$ (wobei  $d [mm] \in [/mm]  N$) ist es $d/n$ macht keinen Sinn.

Korrekturversuch: [mm] $P(X_n\le [/mm] t)=d/n$ fuer [mm] $1/(n+1-d)\le [/mm] t< 1/(n-d)$, [mm] $d=1,2,\dots,n-1$. [/mm]

Zeichne zum besseren Verstaendnis einmal die Verteilungsfunktion z.B. von [mm] $X_4$. [/mm]
                  


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Verteilungsfunktion, Konvergen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:57 So 19.04.2015
Autor: Kosamui

Hmm beim zeichnen tu ich mir schwer, weil ich irgendwie noch nicht richtig verstehe wie die Funktion ausschauen sollte. Wenn die x-Achse bei mir [mm] X_{n} [/mm] ist und die y Achse F(t), dann entsteht eine Kurve die mit höherem n abfällt und Richtung null geht.?

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Verteilungsfunktion, Konvergen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 So 19.04.2015
Autor: luis52

[mm] $F_{X_4}$ [/mm] ist eine Treppenfunktion mit Stufen der Hoehe [mm] $1/4,\, 2/4,\, 3/4,\,4/4$ [/mm] bei [mm] $x=1/4,\,1/3,\,1/2,\,1$ [/mm] ...

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