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Forum "Laplace-Transformation" - Verschiebungssatz
Verschiebungssatz < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Verschiebungssatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:14 Di 25.03.2014
Autor: Himalia

Aufgabe
Bestimmen Sie mit Hilfe des Verschiebungssatzes und den gegebenen Laplace-Transformationen die Bildfunktionen zu:


f(t) = t+4, (Hinweis: [mm] L\left\{t\right\}=\frac{1}{p^2}) [/mm]

Hi,
hoffe ihr könnt mir helfen diese Aufgabe zu lösen.


Idee:
2.Verschiebungssatz (Verschiebung nach links)
[mm] L\left\{f(t+a)\right\}=e^{as}*\left[ F(s)-\int_0^a \! f(t)*e^{-st} \, dt \right] [/mm]    (a>0)

F(s)= [mm] L\left\{t\right\}=\frac{1}{p^2} [/mm]  ???
f(t) = t+4

[mm] L\left\{f(t+a)\right\}=e^{as}*\left[ \frac{1}{p^2}-\int_0^a \! (t+4)*e^{-st} \, dt \right] [/mm]


Habe sonst leider keine Idee.

        
Bezug
Verschiebungssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:05 Di 25.03.2014
Autor: fred97


> Bestimmen Sie mit Hilfe des Verschiebungssatzes und den
> gegebenen Laplace-Transformationen die Bildfunktionen zu:
>  
>
> f(t) = t+4, (Hinweis: [mm]L\left\{t\right\}=\frac{1}{p^2})[/mm]

Merkwürdige Bezeichnung .....

>  Hi,
>  hoffe ihr könnt mir helfen diese Aufgabe zu lösen.
>  
>
> Idee:
>  2.Verschiebungssatz (Verschiebung nach links)
>  [mm]L\left\{f(t+a)\right\}=e^{as}*\left[ F(s)-\int_0^a \! f(t)*e^{-st} \, dt \right][/mm]
>    (a>0)

Ja, das stimmt. Es ist also f(t)=t und a =4, also

[mm]L\left\{f(t+4)\right\}=e^{4s}*\left[ F(s)-\int_0^4 \! f(t)*e^{-st} \, dt\right] =e^{4s}*\left[ \frac{1}{s^2}-\int_0^4 \! t*e^{-st} \, dt \right][/mm]

>  
> F(s)= [mm]L\left\{t\right\}=\frac{1}{p^2}[/mm]  ???


Wo kommt das bescheuerte p eigentlich her ????

Es ist hier [mm] F(s)=\frac{1}{s^2} [/mm]


FRED


>  f(t) = t+4
>  
> [mm]L\left\{f(t+a)\right\}=e^{as}*\left[ \frac{1}{p^2}-\int_0^a \! (t+4)*e^{-st} \, dt \right][/mm]
>  
>
> Habe sonst leider keine Idee.


Bezug
                
Bezug
Verschiebungssatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 Di 25.03.2014
Autor: Himalia

[mm] L\left\{f(t+4)\right\}=e^{4s}*\left[ \frac{1}{s^2}-\int_0^4 \! t*e^{-st} \, dt \right] [/mm]

Partielle Integration:
[mm] \int_a^b \! [/mm] u*v' [mm] =[u*v]_a^b-\int_a^b \! [/mm] u'*v

u=t
u'=1
[mm] v=-\frac{1}{s}*e^{-st} [/mm]
[mm] v'=e^{-st} [/mm]

[mm] =[-t*\frac{1}{s}*e^{-st}]_0^4+\int_0^4 \! \frac{1}{s}*e^{-st} \, [/mm] dt

[mm] =[-t*\frac{1}{s}*e^{-st}]_0^4+\frac{1}{s}\int_0^4 \! e^{-st} \, [/mm] dt

[mm] =[-4*\frac{1}{s}*e^{-4s}]-[0]+\frac{1}{s}[(-\frac{1}{s}*e^{-4s})-(-\frac{1}{s})] [/mm]

[mm] =-\frac{4}{s}*e^{-4s}+\frac{1}{s}(-\frac{1}{s}*e^{-4s}+\frac{1}{s}) [/mm]

[mm] =-\frac{4}{s}*e^{-4s}-\frac{1}{s^2}*e^{-4s}+\frac{1}{s^2} [/mm]

[mm] =e^{-4s}*(-\frac{4}{s}-\frac{1}{s^2})+\frac{1}{s^2} [/mm]

s durch p ersetzen:

[mm] L\left\{f(t+4)\right\}=e^{-4p}*(-\frac{4}{p}-\frac{1}{p^2})+\frac{1}{p^2} [/mm]

Stimmt meine Lösung ?

Bezug
                        
Bezug
Verschiebungssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 Mi 26.03.2014
Autor: chrisno

Ich habe mich ja nur mal ganz am Rand mit der Laplace-Transformation befasst, aber ich glaube nicht, dass Du einfach einiges unter den Tisch fallen lassen kannst.

Die gesuchte Funktion lautet:

> [mm]L\left\{f(t+4)\right\}=e^{4s}*\left[ \frac{1}{s^2}-\int_0^4 \! t*e^{-st} \, dt \right][/mm]

Ich wundere mich über die Integrationsgrenze. Wieso steht da a und nicht [mm] $\infty$? [/mm]
Ich finde den Verschiebungssatz anders dargestellt, mit [mm] $e^{-as}F(s)$ [/mm] als Transformierte.

>

Da fehlt ein Text von Dir, das wirst Du merken, wie wichtig der war.
"Das Integral wird mit

> Partielle Integration:

gelöst"

>  [mm]\int_a^b \![/mm] u*v' [mm]=[u*v]_a^b-\int_a^b \![/mm] u'*v
>
> u=t
>  u'=1
>  [mm]v=-\frac{1}{s}*e^{-st}[/mm]
>  [mm]v'=e^{-st}[/mm]
>  

Hier fehlt nun "damit wird aus" [mm] $\int_0^4 \! t*e^{-st} \, [/mm] dt$

> [mm]=[-t*\frac{1}{s}*e^{-st}]_0^4+\int_0^4 \! \frac{1}{s}*e^{-st} \,dt[/mm]
>
> [mm]=[-t*\frac{1}{s}*e^{-st}]_0^4+\frac{1}{s}\int_0^4 \! e^{-st} \,dt[/mm]
>
> [mm]=[-4*\frac{1}{s}*e^{-4s}]-[0]+\frac{1}{s}[(-\frac{1}{s}*e^{-4s})-(-\frac{1}{s})][/mm]
>  
> [mm]=-\frac{4}{s}*e^{-4s}+\frac{1}{s}(-\frac{1}{s}*e^{-4s}+\frac{1}{s})[/mm]
>  
> [mm]=-\frac{4}{s}*e^{-4s}-\frac{1}{s^2}*e^{-4s}+\frac{1}{s^2}[/mm]
>  
> [mm]=e^{-4s}*(-\frac{4}{s}-\frac{1}{s^2})+\frac{1}{s^2}[/mm]
>  
> s durch p ersetzen:

Abgesehen von dem mysteriösen p (Du darfst die Variablen umbenennen, aber warum machst Du es), bis hier hast Du Dich auf das Integral beschränkt. Nun musst Du das Ergebnis oben einsetzen
Allerdings lese ich beim Verschiebungsatz,

>  
> [mm]L\left\{f(t+4)\right\}=e^{-4p}*(-\frac{4}{p}-\frac{1}{p^2})+\frac{1}{p^2}[/mm]
>  
> Stimmt meine Lösung ?

so noch nicht.

Bezug
                                
Bezug
Verschiebungssatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:48 Mi 26.03.2014
Autor: Himalia

Habe jetzt folgendes heraus bekommen:
[mm] L\left\{ f(t+4)\right\}=\frac{4}{p}+\frac{1}{p^2} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Verschiebungssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:37 Do 27.03.2014
Autor: chrisno

Als Ergebnis der Rechnung, ja. Ob das mit dem Verschiebungssatz so stimmt, musst Du selbst herausfinden.

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