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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Vereinigung abz. unend. Mengen
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Vereinigung abz. unend. Mengen: "Tipp"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:01 Di 17.05.2016
Autor: Ardbeg

Aufgabe
Beweisen Sie, dass die Vereinigung abzählbar unendlich vieler abzählbar unendlicher Mengen ebenfalls abzählbar unendlich ist.

Hallo Freunde,

ich stehe mal wieder vor einem Problem und bin mir noch nicht ganz sicher wie ich es lösen soll.
Meine Idee besteht darin, dass ich zwei bijektive Abbildungen wähle:
f: [mm] \IN \to [/mm] A
f: [mm] \IN \to [/mm] B

und A [mm] \cup [/mm] B = { f(n) , g(n) | n [mm] \in \IN [/mm] }

Wenn ich nun zeige, dass es eine bijektive Abbildung h gibt, mit
h: A [mm] \cup [/mm] B [mm] \to \IN [/mm]
dann wäre es doch schon so gut wie bewiesen. Denn als nächstes würde ich per vollständiger Induktion beweisen, dass es auch für n+1 gilt. Meiner Meinung nach müsste das auch klappen, da ich wegen abzählbar unendlich weiß, dass ich für jedes Element ein n [mm] \in \IN [/mm] finden kann.

Angenommen:
A = { [mm] a_{1}; a_{2}; \cdots \, a_{n} [/mm] }
B = { [mm] b_{1}; b_{2}; \cdots \, b_{n} [/mm] }
A [mm] \cup [/mm] B = { [mm] a_{1}, b_{1}; a_{2}, b_{2}; \cdots \, a_{n}, b_{n} [/mm] }

Ich wähle am besten nun eine bijektive Abbildung für die dann gilt:
[mm] \begin{cases} {a*n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ {b*n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm]

Das ist zwar meine Beweisidee, ob die überhaupt klappen kann, dass sei mal in Frage gestellt. Bin ich denn damit auf dem richtigen Weg?

Gruß
Ardbeg

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Vereinigung abz. unend. Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:16 Di 17.05.2016
Autor: fred97


> Beweisen Sie, dass die Vereinigung abzählbar unendlich
> vieler abzählbar unendlicher Mengen ebenfalls abzählbar
> unendlich ist.
>  Hallo Freunde,
>  
> ich stehe mal wieder vor einem Problem und bin mir noch
> nicht ganz sicher wie ich es lösen soll.
> Meine Idee besteht darin, dass ich zwei bijektive
> Abbildungen wähle:
>  f: [mm]\IN \to[/mm] A
>  f: [mm]\IN \to[/mm] B
>
> und A [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

B = { f(n) , g(n) | n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  
> Wenn ich nun zeige, dass es eine bijektive Abbildung h
> gibt, mit
> h: A [mm]\cup[/mm] B [mm]\to \IN[/mm]
> dann wäre es doch schon so gut wie bewiesen. Denn als
> nächstes würde ich per vollständiger Induktion beweisen,
> dass es auch für n+1 gilt.


Damit hast Du aber nur gezeigt: eine endliche Vereinigung von abzählbaren Mengen ist abzählbar.




> Meiner Meinung nach müsste das
> auch klappen, da ich wegen abzählbar unendlich weiß, dass
> ich für jedes Element ein n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

finden kann.

>
> Angenommen:
>  A = { [mm]a_{1}; a_{2}; \cdots \, a_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  B = { [mm]b_{1}; b_{2}; \cdots \, b_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  A [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

B = { [mm]a_{1}, b_{1}; a_{2}, b_{2}; \cdots \, a_{n}, b_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> }
>  
> Ich wähle am besten nun eine bijektive Abbildung für die
> dann gilt:
> [mm]\begin{cases} {a*n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ {b*n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]


Damit erwischt Du nicht:
  
  [mm] a_1,a_3,a_5,..... [/mm]

und auch nicht

  [mm] b_2,b_4, b_6,... [/mm]


FRED

>  
> Das ist zwar meine Beweisidee, ob die überhaupt klappen
> kann, dass sei mal in Frage gestellt. Bin ich denn damit
> auf dem richtigen Weg?
>  
> Gruß
>  Ardbeg
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Vereinigung abz. unend. Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:54 Mi 18.05.2016
Autor: Ardbeg

Danke für die Hilfe erst einmal.
Mir stellt sich aber gerade eine Frage. Laut unserer Definition ist eine Menge abzählbar unendlich, wenn es eine Bijektion f: A [mm] \to \IN [/mm] gibt.
Daher habe ich beide ja so gewählt. Wieso würde ich also nur zeigen, dass ich abzählbar endliche Mengen hätte?

Gruß
Ardbeg

Bezug
                        
Bezug
Vereinigung abz. unend. Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:52 Mi 18.05.2016
Autor: fred97

Wenn A und B abzählbar unendlich sind und Du gezeigt hättest, dass A [mm] \cup [/mm] B wieder abzählbar unendlich ist, so wäre das der Induktionsanfang für die Aussage:

  ist m [mm] \in \IN [/mm] und sind [mm] A_1,...,A_m [/mm] jeweils abzählbar unendliche Mengen, so ist [mm] \bigcup_{i=1}^{m}A_i [/mm] abzählbar unendlich.


Zeigen sollst Du aber: ist [mm] (A_i)_{i \in \IN} [/mm] eine Folge abzählbar unendlicher Mengen, so ist [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i [/mm] abzählbar unendlich.

FRED

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Bezug
Vereinigung abz. unend. Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:06 Mi 18.05.2016
Autor: Ardbeg

Ah, jetzt sehe ich glaube ich das Problem. Scheint dann also nicht mit der Idee zu klappen. Ich versuche mich dann mal am Cantor Diagonalargument, vielleicht kann ich es ja so darstellen.

Bezug
        
Bezug
Vereinigung abz. unend. Mengen: Diagonalisierung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:08 Mi 18.05.2016
Autor: HJKweseleit

Du kannst am einfachsten das Cantorsche Diagonalisierungsverfahren anwenden:

Seien [mm] A_1, A_2, A_3,.. [/mm] abzählbar (unendlich) viele Mengen von abzählbar (unendlich) vielen Elementen. Dann lassen sich letzere anordnen zu

[mm] A_1: a_{1,1}, a_{1,2}, a_{1,3}, a_{1,4}, [/mm] ...
[mm] A_2: a_{2,1}, a_{2,2}, a_{2,3}, a_{2,4}, [/mm] ...
[mm] A_3: a_{3,1}, a_{3,2}, a_{3,3}, a_{3,4}, [/mm] ...
[mm] A_4: a_{4,1}, a_{4,2}, a_{4,3}, a_{4,4}, [/mm] ...
usw.,

wobei wegen der Abzählbarkeit sowohl alle Mengen als auch in der jeweiligen Menge alle Elemente irgendwo in der Gesamtanordnung vorkommen.

Jetzt bildest du die Vereinigungsmenge, indem du der Reihe nach die Elemente aus der obigen Tabelle so hinschreibst, dass die Summe ihrer Indizes ansteigt, also:

Zuerst mit Summe = 2: [mm] a_{1,1} [/mm]
dann Summe = 3: [mm] a_{2,1}, a_{1,2} [/mm]
dann Summe = 4: [mm] a_{3,1}, a_{2,2}, a_{1,3} [/mm]
dann Summe = 5: [mm] a_{4,1}, a_{3,2}, a_{2,3}, a_{1,4} [/mm]
dann Summe = 6: [mm] a_{5,1}, a_{4,2}, a_{3,3}, a_{2,4}, a_{1,5} [/mm]
usw.

Du fängst sozusagen links oben in der Ecke der Tafel an und gehst dann diagnonal von links unten nach rechts oben reihenweise weiter. Irgendwann wird jedes Element erfasst, und du hast somit die Abzählbarkeit der Vereinigungsmenge gezeigt.

Eine konkrete "Formel", wleches Element an welcher Stelle steht, brauchst du dabei nicht anzugeben.



Bezug
                
Bezug
Vereinigung abz. unend. Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Mi 18.05.2016
Autor: Ardbeg

Wow, vielen Dank für diese klare Erläuterung. Habe mir schon das Cantor-Diagonalargument angeschaut, wusste aber nicht, wie ich es mit irgendwelchen Elementen darstellen kann.

Damit ich es richtig verstanden habe, versuche ich es mal darzustellen.
Sind [mm] A_{1}, A_{2}, \cdots [/mm] , [mm] A_{k} [/mm] (mit k [mm] \in \IN) [/mm] abzählbare unendliche Mengen, so dass man Folgen finden kann, für die gilt:
[mm] f_{n_{1}}: \IN \to A_{1} [/mm]  
[mm] f_{n_{2}}: \IN \to A_{2} [/mm]
usw.
[mm] f_{n_{k}}: \IN \to A_{k} [/mm]

Für die Mengen gilt:
[mm] A_{1}=\{ a_{1,1}, a_{1,2}, \cdots , a_{1,k} \} [/mm]
[mm] A_{2}=\{ a_{2,1}, a_{2,2}, \cdots , a_{2,k} \} [/mm]
usw.
[mm] A_{k}=\{ a_{k,1}, a_{k,2}, \cdots , a_{k,k} \} [/mm]

Nun schreibe ich das mal als Diagonalargument auf.
[mm] \pmat{ a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,k} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,k} \\ \vdots \\ a_{k,1} & a_{k,2} & \cdots & a_{k,k}} [/mm]

(Habe es als Matrix geschrieben, da ich keine andere Darstellung hier finde. Soll nur veranschaulichen)

Damit addiere ich jetzt immer die Diagonalen miteinander, so erhalte ich dann.
Summe 1 = [mm] a_{1,1} [/mm]
Summe 2 = [mm] a_{2,1},a_{1,2} [/mm]
Summe 3 = [mm] a_{3,1},a_{2,2},a_{1,3} [/mm]
Summe 4 = [mm] a_{4,1},a_{3,2},a_{2,3},a_{1,4} [/mm]
usw.
Summe 5 = [mm] a_{k,1},a_{k-1,2}, \cdots ,a_{1,k} [/mm]

Dann habe ich ja die gewünschte Diagonale, wenn ich von [mm] a_{k,1} [/mm] nach [mm] a_{1,k} [/mm] ziehe. Also doch gezeigt, dass für alle k ein Element zugeordnet werden kann und somit auch die Vereinigung der Mengen abzählbar unendlich ist.
Eine Frage noch. Wieso startest du bei Summe 2?

Gruß
Ardbeg

Bezug
                        
Bezug
Vereinigung abz. unend. Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:24 Mi 18.05.2016
Autor: HJKweseleit


> Wow, vielen Dank für diese klare Erläuterung. Habe mir
> schon das Cantor-Diagonalargument angeschaut, wusste aber
> nicht, wie ich es mit irgendwelchen Elementen darstellen
> kann.
>
> Damit ich es richtig verstanden habe, versuche ich es mal
> darzustellen.
>  Sind [mm]A_{1}, A_{2}, \cdots[/mm] , [mm]A_{k}[/mm] (mit k [mm]\in \IN)[/mm]
> abzählbare unendliche Mengen, so dass man Folgen finden
> kann, für die gilt:
>  [mm]f_{n_{1}}: \IN \to A_{1}[/mm]  
> [mm]f_{n_{2}}: \IN \to A_{2}[/mm]
>  usw.
> [mm]f_{n_{k}}: \IN \to A_{k}[/mm]
>  
> Für die Mengen gilt:
> [mm]A_{1}=\{ a_{1,1}, a_{1,2}, \cdots , a_{1,k} \}[/mm]
>  [mm]A_{2}=\{ a_{2,1}, a_{2,2}, \cdots , a_{2,k} \}[/mm]
>  
> usw.
>  [mm]A_{k}=\{ a_{k,1}, a_{k,2}, \cdots , a_{k,k} \}[/mm]
>  
> Nun schreibe ich das mal als Diagonalargument auf.
>  [mm]\pmat{ a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,k} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,k} \\ \vdots \\ a_{k,1} & a_{k,2} & \cdots & a_{k,k}}[/mm]
>  
> (Habe es als Matrix geschrieben, da ich keine andere
> Darstellung hier finde. Soll nur veranschaulichen)
>  
> Damit addiere ich jetzt immer die Diagonalen miteinander,


Nein, du addierst nicht die Elemente, du sollst sie ja nur aufzählen. Du addierst die beiden Indices der Elemente, also von [mm] a_{12,8} [/mm] erhältst du den Wert 12+8=20.

Weil die kleinste Indexsumme bei [mm] a_{1,1} [/mm] mit 1+1=2 entsteht, fängst du bei

Indexsumme=2 an.
Dann kommen alle Elemente mit Indexsumme=3, nämlich 1+2 und 2+1, also [mm] a_{1,2} [/mm] und [mm] a_{2,1} [/mm] usw.

Damit wird sichergestellt, dass jedes Element irgendwann mal drankommt, z.B. [mm] a_{103,21} [/mm] dann, wenn die "Familie" mit Indexsumme 123 dran war und nun die mit 124 dran ist.

Wieso ist das wichtig? Man könnte doch sagen, alle Elemente stehen in der Matrix, also kommen alle mal dran.

Nein: Wenn du z.B. zuerst alle Elemente von [mm] A_1 [/mm] anordnest, wirst du nie fertig, weil diese Menge unendlich viele Elemente enthält und du deshalb nie dazu kommst, ein Element von [mm] A_2 [/mm] zu berücksichtigen. Deshalb musst du ein Verfahren angeben, das sicherstellt, dass jedes Element aus jeder Menge wirklich einen festen Standort in der Vereinigungsmenge enthält.

So kommt z.B. das erste Element von [mm] A_{47}, [/mm] also [mm] a_{47,1}, [/mm] erst vor, wenn alle Familien von Indexsumme 1 bis 47 abgearbeitet sind.


PS:
Chuck Norris hat bis unendlich gezählt.
Sogar zwei mal.
und was die meisten nicht wissen: Er hat bei minus unendlich angefangen...




> so erhalte ich dann.
> Summe 1 = [mm]a_{1,1}[/mm]
>  Summe 2 = [mm]a_{2,1},a_{1,2}[/mm]
>  Summe 3 = [mm]a_{3,1},a_{2,2},a_{1,3}[/mm]
>  Summe 4 = [mm]a_{4,1},a_{3,2},a_{2,3},a_{1,4}[/mm]
>  usw.
> Summe 5 = [mm]a_{k,1},a_{k-1,2}, \cdots ,a_{1,k}[/mm]
>  
> Dann habe ich ja die gewünschte Diagonale, wenn ich von
> [mm]a_{k,1}[/mm] nach [mm]a_{1,k}[/mm] ziehe. Also doch gezeigt, dass für
> alle k ein Element zugeordnet werden kann und somit auch
> die Vereinigung der Mengen abzählbar unendlich ist.
> Eine Frage noch. Wieso startest du bei Summe 2?

s.o.

>
> Gruß
>  Ardbeg


Bezug
                                
Bezug
Vereinigung abz. unend. Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:40 Do 19.05.2016
Autor: Ardbeg

Hallo,

danke für die gute Erklärung. Sorry, habe das mit der Summe natürlich falsch verstanden und weiß jetzt auch, wie es gemeint ist.
Nochmals vielen Dank für die Mühe!

Gruß
Ardbeg

Bezug
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