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Untersumme berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Mo 26.09.2016
Autor: phoenix123

Aufgabe
Es sei [mm] f:\IR\to\IR, t\to f(t)=t^4 [/mm] gegeben. Für jedes n ist die Partition des Intervalls [1,4] durch [mm] P_n=<4^\bruch{0}{n},4^\bruch{1}{n},4^\bruch{2}{n},...,4^\bruch{n}{n}> [/mm] definiert.
Berechne die Untersumme.

Hallo, ich komm bei der Aufgabe nicht wirklich weiter.

Also die Untersumme berechnet man ja mit:
[mm] U=\summe_{k=1}^{n}f(t_{k-1})\cdot(t_k-t_{k-1}). [/mm]

Die Folge [mm] t_k=4^\bruch{k}{n} [/mm] für [mm] 0\le k\le [/mm] n erfasst ja die Punkte in der Partition.

Also ist die Folge der Abstände in der Partition: [mm] t_k-t_{k-1}=4^\bruch{k}{n}-4^\bruch{k-1}{n}. [/mm]

Als nächstes berechne ich [mm] f(t_{k-1})=4^\bruch{4(k-1)}{n}. [/mm]

Wenn ich das in die Formel einsetze erhalte ich:

U(f, [mm] P_n)=\summe_{k=1}^{n}4^\bruch{4(k-1)}{n}\cdot(4^\bruch{k}{n}-4^\bruch{k-1}{n})=\summe_{k=1}^{n}(4^\bruch{5k-4}{n}-4^\bruch{5k-5}{n}). [/mm]

Nun weiß ich allerdings nicht wie ich damit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}U(f, P_n) [/mm] berechnen soll.

Vielleicht kann ja jemand helfen,

Gruß

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Untersumme berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 Mo 26.09.2016
Autor: leduart

Hallo
1. [mm] \Delta t=4^{k/n}*(4^{1/n}-1) [/mm]
2. mit f multiplizieren, dann [mm] 4^{-5/n} [/mm] und die Klammer oben vor die Summe ziehen, dann hast du ne geometrische Reihe , die du summieren kannst und dann den GW bilden.
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Untersumme berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:08 Di 27.09.2016
Autor: phoenix123

Hallo,

ok also [mm] t_{k+1}-t_k=4^\bruch{k+1}{n}-4^\bruch{k}{n}=4^\bruch{k}{n}(4^\bruch{1}{n}-1). [/mm]

Der Funktionswert ist [mm] f(t_k)=f(4^\bruch{k}{n})=4^\bruch{4k}{n}. [/mm]

Die Untersumme lautet also:

[mm] U=\summe_{k=1}^{n} 4^\bruch{4k}{n}\cdot4^\bruch{k}{n}(4^\bruch{1}{n}-1)=\summe_{k=1}^{n}4^\bruch{5k}{n}(4^\bruch{1}{n}-1)=(4^\bruch{1}{n}-1)\summe_{k=1}^{n}4^\bruch{5k}{n}. [/mm]

Aber wie forme ich [mm] \summe_{k=1}^{n}4^\bruch{5k}{n} [/mm] so um, dass ich eine geometrische Reihe mit [mm] \summe_{k=1}^{n}q^k [/mm] bekomme ?


Bezug
                        
Bezug
Untersumme berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Di 27.09.2016
Autor: fred97

$ [mm] \summe_{k=1}^{n}4^\bruch{5k}{n} =\summe_{k=1}^{n}(4^\bruch{5}{n})^k$ [/mm]

FRED

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Untersumme berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:31 Mi 28.09.2016
Autor: phoenix123

hallo, ja das hab ich schon versucht aber bin da auch nicht weiter gekommen ...

also die geometrische reihe lautet doch mit dem startwert k=1 [mm] \summe_{k=1}^{n}q^k=\bruch{aq}{1-q}. [/mm]

also [mm] (4^\bruch{1}{n}-1)\summe_{k=1}^{n}(4^\bruch{5}{n})^k=\bruch{(4^\bruch{1}{n}-1)\cdot 4^\bruch{5}{n}}{1-4^\bruch{5}{n}}. [/mm]

Der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(4^\bruch{1}{n}-1)\cdot 4^\bruch{5}{n}}{1-4^\bruch{5}{n}} [/mm] entspricht aber nicht der richtigen Untersumme.

kann mir da noch jemand nen tipp geben ? :)


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Bezug
Untersumme berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 Mi 28.09.2016
Autor: fred97


> hallo, ja das hab ich schon versucht aber bin da auch nicht
> weiter gekommen ...
>  
> also die geometrische reihe lautet doch mit dem startwert
> k=1 [mm]\summe_{k=1}^{n}q^k=\bruch{aq}{1-q}.[/mm]

Das ist doch Unfug !

Für q [mm] \ne [/mm] 1 und n [mm] \in \IN [/mm]  ist [mm] \summe_{k=1}^{n}q^k=\bruch{q}{1-q}(q^n-1) [/mm]

Edit: es lautet natürlich  [mm] \summe_{k=1}^{n}q^k=\bruch{q}{q-1}(q^n-1) [/mm]

   endliche(!) geometrische Reihe mit Startwert k=1.

Für |q|<1 ist  [mm] \summe_{k=1}^{\infty}q^k=\bruch{q}{1-q} [/mm]

   unendliche(!) geometrische Reihe mit Startwert k=1.

FRED

>  
> also
> [mm](4^\bruch{1}{n}-1)\summe_{k=1}^{n}(4^\bruch{5}{n})^k=\bruch{(4^\bruch{1}{n}-1)\cdot 4^\bruch{5}{n}}{1-4^\bruch{5}{n}}.[/mm]
>  
> Der Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(4^\bruch{1}{n}-1)\cdot 4^\bruch{5}{n}}{1-4^\bruch{5}{n}}[/mm]
> entspricht aber nicht der richtigen Untersumme.
>
> kann mir da noch jemand nen tipp geben ? :)
>  


Bezug
                                                
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Untersumme berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:54 Mi 28.09.2016
Autor: phoenix123

aber [mm] \summe_{k=1}^{\infty}q^k=\bruch{q}{1-q} [/mm] ergibt doch genau das was ich gemacht hab ?!

[mm] (4^\bruch{1}{n}-1)\summe_{k=1}^{n}(4^\bruch{5}{n})^k=\bruch{(4^\bruch{1}{n}-1)\cdot 4^\bruch{5}{n}}{1-4^\bruch{5}{n}} [/mm] für [mm] n\to\infty. [/mm]

und da stimmt (wie gesagt) der grenzwert nicht ..






Bezug
                                                        
Bezug
Untersumme berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Mi 28.09.2016
Autor: fred97


> aber [mm]\summe_{k=1}^{\infty}q^k=\bruch{q}{1-q}[/mm] ergibt doch
> genau das was ich gemacht hab ?!
>  
> [mm](4^\bruch{1}{n}-1)\summe_{k=1}^{n}(4^\bruch{5}{n})^k=\bruch{(4^\bruch{1}{n}-1)\cdot 4^\bruch{5}{n}}{1-4^\bruch{5}{n}}[/mm]

Das stimmt nicht !


> für [mm]n\to\infty.[/mm]
>  
> und da stimmt (wie gesagt) der grenzwert nicht ..

Ich hatte mich oben verschrieben. Korrekt ist

    [mm] \summe_{k=1}^{n}q^k=\bruch{q}{q-1}(q^n-1) [/mm]  (q [mm] \ne [/mm] 1)

Für [mm] \summe_{k=1}^{n}(4^\bruch{5}{n})^k [/mm] benutze diese Formel.

FRED

>  
>
>
>
>  


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