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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgende Relation eine Äquivalenzrelation ist:
[mm]M = {(x, y) | x, y ∈ und x, y > 0}, R = {((x1,y1),(x2,y2)) | x1*y1 = x2*y2} [/mm]
Bemerkung: In der Ausgangsmenge sind also alle Punkte in der x-y Ebene
mit x, y > 0. In Relation zueinander stehen die Punkte, bei denen das Produkt
aus x- und y-Koordinate gleich ist. |
Eine Äquivalenzrelation liegt ja vor, wenn R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Reflexiv bedeutet, ja zum Beispiel: M = {(a,a),(b,b)}
Symmetrisch = A=B dann auch B=A
Transitiv = Wenn A<B und B<C dann auch A<C
Mein Problem liegt jetzt darin, dass ich nicht so recht weiß, wie ich meine Erkenntnis bezüglich reflexiv usw. auf die vorgegebene Relation anwenden kann.
Vielen Dank für Eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 So 14.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie, ob die folgende Relation eine
> Äquivalenzrelation ist:
> [mm]M = {(x, y) | x, y ∈ und x, y > 0}, R = {((x1,y1),(x2,y2)) | x1*y1 = x2*y2}[/mm]
uh, das ist schon schlecht: Bei R sollte irgendwo
(x1,y1),(x2,y2) [mm] $\in [/mm] M$
dabeistehen. Oder es muss $x1,x2,y1,y2 > 0$ ergänzt werden!
> Bemerkung: In der Ausgangsmenge sind also alle Punkte in
> der x-y Ebene
> mit x, y > 0. In Relation zueinander stehen die Punkte,
> bei denen das Produkt
> aus x- und y-Koordinate gleich ist.
> Eine Äquivalenzrelation liegt ja vor, wenn R reflexiv,
> symmetrisch und transitiv ist.
> Reflexiv bedeutet, ja zum Beispiel: M = {(a,a),(b,b)}
Aua. Dass das Quadrat einer reellen Zahl stets größergleich Null ist, bedeutet
ja zum Beispiel [mm] $2^2=4\,.$ [/mm] Merkst Du was? Solche Aussagen bringen nicht viel...
Schreib' Dir bitte GENAU die Definition von reflexiv hin. Es gibt nämlich eine
Frage, warum eine symmetrische und transitive Relation nicht schon
automatisch reflexiv ist. Jemand, der das beantworten kann, der hat das
verstanden. Andere eher nicht!
> Symmetrisch = A=B dann auch B=A
Quatsch!
> Transitiv = Wenn A<B und B<C dann auch A<C
Es wird nicht besser!
> Mein Problem liegt jetzt darin, dass ich nicht so recht
> weiß, wie ich meine Erkenntnis bezüglich reflexiv usw.
> auf die vorgegebene Relation anwenden kann.
Dein Problem liegt schon darin, dass Du irgendwas mit den Definitionen
machst, anstatt sie Dir genau anzuschauen und damit zu arbeiten.
Wie üblich schreiben wir mal $(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d)$: [mm] $\iff$ [/mm] $((a,b),(c,d)) [mm] \in R\,.$
[/mm]
Oben muss man schon wissen, ob [mm] $M\,$ [/mm] als
[mm] $\{(x,y) \in \red{\,\IR\,} \mid x,y > 0\}$
[/mm]
gemeint war - das rote [mm] $\IR$ [/mm] fehlt.
Ich zeige Dir jetzt mal, dass R reflexiv ist:
Es ist die Frage, ob für alle $(a,b) [mm] \in \red{\,M\,}$ [/mm] gilt:
$(a,b) [mm] \sim (a,b)\,$ [/mm] (beachte, dass dabei zusätzlich $a,b [mm] \in ]0,\infty[$).
[/mm]
(D.h., ob für alle $(a,b) [mm] \in [/mm] M$ auch $((a,b),(a,b)) [mm] \in [/mm] R$ gilt!)
Sei also $(a,b) [mm] \in M\,.$ [/mm] Per Definitionem gilt [mm] $(\blue{a},\red{b}) \sim (\green{a},b)$ [/mm] für
$a,b > 0$ genau dann, wenn
[mm] $\blue{a}*\red{b}=\green{a}*b$
[/mm]
gilt. Da offensichtlich $a*b=a*b$ gilt, impliziert diese Gleichheit also
$(a,b) [mm] \sim (a,b)\,.$
[/mm]
Jetzt zur Symmetrie: Für alle $(a,b), (c,d) [mm] \in \red{\,R\,}$ [/mm] MIT
$(a,b) [mm] \sim (c,d)\,$
[/mm]
ist die Frage zu beantworten, ob auch
$(c,d) [mm] \sim (a,b)\,$
[/mm]
gilt.
Seien also $(a,b),(c,d) [mm] \in [/mm] R$ mit
$(a,b) [mm] \sim (c,d)\,$ [/mm] (d.h. $((a,b),(c,d)) [mm] \in [/mm] R$).
Dann gilt per Definitionem $a,b,c,d > 0$ und
[mm] $a*b=c*d\,.$
[/mm]
Zu prüfen ist, ob nun auch
$(c,d) [mm] \sim [/mm] (a,b)$
gilt - das ist genau dann der Fall, wenn $c,d,a,b > 0$ (das wissen wir schon) und
$c*d=a*b$
gelten. Also?
Bei der Transitivität mache ich es mal kurz: Dort wirst Du nach Voraussetzung
$a,b,c,d,e,f > 0$
und
[mm] $a*b=c*d\,$ [/mm] sowie [mm] $c*d=e*f\,$
[/mm]
wissen. Zu zeigen wird sein, dass bzw. ob
$a,b,e,f > [mm] 0\,$
[/mm]
und
$a*b=e*f$
gelten.
So, jetzt schreibe noch kurz das Fazit zur Symmetrie-Überlegung und
schreibe den Beweis zur Transitivität mal ganz ausführlich auf. Dann wirst
Du sehen, dass in der Tat R eine ÄR auf M ist!
Gruß,
Marcel
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Ok, dann habe ich einige Fehler im Bereich, was reflexiv, symmetrisch und transitiv bedeuten. Die Aufgabe allerdings kam so vom Professor und wurde von mir 1 zu 1 übernommen.
Habe mir nun auch noch bessere Definition herausgesucht:
Reflexiv: Jedes Objekt der Grundmenge steht mit sich selbst in Relation
Symmetrisch: Steht ein Objekt a in Relation mit dem Objekt b, dann steht auch b in Relation mit a
Transitiv: Steht a mit b und b mit c in Relation, dann steht auch a mit c in Relation.
Ich habe noch eine andere Aufgabe, die obere würde ich auf Grund der fehlenden Informationen gerne liegen lassen.
Untersuchen Sie die folgende Relation auf Reflexitivität, Symmetrie und Transitivität.
[mm] R = {(A,B) | A \subseteq B, [/mm] wobei A und B echte Teilmengen von [mm]\IN[/mm] sind
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 So 14.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, dann habe ich einige Fehler im Bereich, was reflexiv,
> symmetrisch und transitiv bedeuten. Die Aufgabe allerdings
> kam so vom Professor und wurde von mir 1 zu 1 übernommen.
>
> Habe mir nun auch noch bessere Definition herausgesucht:
> Reflexiv: Jedes Objekt der Grundmenge steht mit sich
> selbst in Relation
> Symmetrisch: Steht ein Objekt a in Relation mit dem Objekt
> b, dann steht auch b in Relation mit a
> Transitiv: Steht a mit b und b mit c in Relation, dann
> steht auch a mit c in Relation.
>
>
> Ich habe noch eine andere Aufgabe, die obere würde ich auf
> Grund der fehlenden Informationen gerne liegen lassen.
warum? Vielleicht hast Du die Informationen ja auch, nur nicht vollständig
abgetippt. Ich bin mir jedenfalls sicher, dass da stehen sollte:
[mm] $M=\{(a,b) \mid a,b \in \IR \text{ und }a,b > 0\}$
[/mm]
sowie
[mm] $R=\{(\,(x_1,y_1),\,(x_2,y_2)\,) \mid\;\; (x_1,y_1),(x_2,y_2) \in M \text{ und }x_1*y_1=x_2*y_2\}\,,$
[/mm]
und dass dann die Frage war, ob [mm] $R\,$ [/mm] eine ÄR auf M ist.
Und genau dazu findest Du die Antworten in meiner Antwort; lies' aber
vielleicht zuvor oder parallel dazu auch die Mitteilung von mir!
> Untersuchen Sie die folgende Relation auf Reflexitivität,
> Symmetrie und Transitivität.
>
> [mm]R = {(A,B) | A \subseteq B,[/mm] wobei A und B echte Teilmengen
> von [mm]\IN[/mm] sind
Beweise mir mal, dass [mm] $R\,$ [/mm] reflexiv ist!
(Edit: Diese Aufgabe ist so unvollständig. Steht irgendwo, ob R als Relation
auf [mm] $\IN$ [/mm] gemeint ist? Denn wenn ja, so kann R nicht reflexiv sein, weil
andernfalls auch [mm] $(\IN,\IN) \in [/mm] R$ wäre, aber [mm] $\IN \subsetneqq \IN$ [/mm] ist Quatsch!)
Und dann sage ich: [mm] $R\,$ [/mm] kann nicht symmetrisch sein:
Es gilt mit
[mm] $A:=\{1,2\} \subseteq B:=\{1,2,3\}$ [/mm] und [mm] $\{1,2\},\;\{1,2,3\} \subsetneqq \IN$
[/mm]
sicher
$(A,B) [mm] \in R\,,$
[/mm]
aber wäre
$(B,A) [mm] \in R\,,$
[/mm]
so folgte
[mm] $B=\{1,2,3\} \subseteq A=\{1,2\}\,.$
[/mm]
Kann das sein?
Die Transitivität macht übrigens keine Probleme...
P.S. Mengenklammern schreibt man in Latex mit vorangestelltem Backslash:
[mm] [nomm]$\{ \}$[/nomm]
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Ok, erst einmal vielen Dank für deine Hilfe.
Die Aufgabe steht so wie ich sie abgeschrieben habe auf dem Aufgabenblatt.
Vorab noch eine Verständigungsfrage von mir. Wie ließt man denn das Folgende überhaupt 
[mm] R_1 = \{(g_1,g_2) | g_1 \perp g_2 \} [/mm] wobei [mm]g_1[/mm] und [mm] g_2 [/mm] Geraden sind.
Ich starte mal einen Versuch:
R1 ist g1 und g2 unter der Voraussetzung das g1 senkrecht auf g2 steht, wobei g1 und g2 Geraden sind?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 So 14.12.2014 | | Autor: | Fulla |
> Ok, erst einmal vielen Dank für deine Hilfe.
>
> Die Aufgabe steht so wie ich sie abgeschrieben habe auf dem
> Aufgabenblatt.
>
> Vorab noch eine Verständigungsfrage von mir. Wie ließt
> man denn das Folgende überhaupt
>
> [mm]R_1 = \{(g_1,g_2) | g_1 \perp g_2 \}[/mm] wobei [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm]
> Geraden sind.
>
> Ich starte mal einen Versuch:
>
> R1 ist g1 und g2 unter der Voraussetzung das g1 senkrecht
> auf g2 steht, wobei g1 und g2 Geraden sind?
Hallo Michi,
ganz exakt würde ich sagen:
[mm]R_1[/mm] ist die Menge aus Paaren von Geraden [mm](g_1, g_2)[/mm], wobei [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] senkrecht aufeinander stehen.
Oder kürzer: [mm]R_1[/mm] ist die Menge aus Paaren von jeweils senkrecht aufeinanderstehenden Geraden [mm](g_1, g_2)[/mm].
Aber ich glaube, dir ging es nur um das Symbol [mm] $\perp$ [/mm] ( = "senkrecht").
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 So 14.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ok, erst einmal vielen Dank für deine Hilfe.
> >
> > Die Aufgabe steht so wie ich sie abgeschrieben habe auf
> dem
> > Aufgabenblatt.
> >
> > Vorab noch eine Verständigungsfrage von mir. Wie
> ließt
> > man denn das Folgende überhaupt
> >
> > [mm]R_1 = \{(g_1,g_2) | g_1 \perp g_2 \}[/mm] wobei [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm]
> > Geraden sind.
> >
> > Ich starte mal einen Versuch:
> >
> > R1 ist g1 und g2 unter der Voraussetzung das g1
> senkrecht
> > auf g2 steht, wobei g1 und g2 Geraden sind?
>
> Hallo Michi,
>
> ganz exakt würde ich sagen:
> [mm]R_1[/mm] ist die Menge aus Paaren von Geraden [mm](g_1, g_2)[/mm], wobei
> [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] senkrecht aufeinander stehen.
> Oder kürzer: [mm]R_1[/mm] ist die Menge aus Paaren von jeweils
> senkrecht aufeinanderstehenden Geraden [mm](g_1, g_2)[/mm].
etwas besser als Deine erste Fassung vielleicht:
[mm] $R_1$ [/mm] ist die Menge aus Paaren [mm] $(g_1,g_2)$ [/mm] mit Geraden [mm] $g_1,g_2$ [/mm] derart,
dass [mm] $g_1$ [/mm] senkrecht auf [mm] $g_2$ [/mm] steht.
Die letzte Kurzfassung finde ich gut.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 So 14.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur nochmal kurz:
> Untersuchen Sie, ob die folgende Relation eine
> Äquivalenzrelation ist:
> [mm]M = {(x, y) | x, y ∈ \IR \text{ und } x, y > 0}, R = {((x1,y1),(x2,y2)) | x1*y1 = x2*y2}[/mm]
vielleicht machst Du Dir erstmal folgendes klar: Es ist
$A [mm] \in [/mm] M$ [mm] $\iff$ $\exists$ [/mm] reelle $x,y > 0$ mit [mm] $A=(x,y)\,.$
[/mm]
Wenn man sich also fragt, ob R die Symmetrie erfüllt, ist die Frage damit
erstmal:
Gilt für alle $A,B [mm] \in [/mm] M$ mit $(A,B) [mm] \in [/mm] R$ auch $(B,A) [mm] \in [/mm] R$?
Damit würde man dann so anfangen: Seien also $A,B [mm] \in [/mm] M$ mit $(A,B) [mm] \in R\,.$
[/mm]
Wegen $A,B [mm] \in [/mm] M$ existieren reelle $a,b,c,d > 0$ mit $A=(a,b)$ und $B=(c,d),$ und
wegen $(A,B)=((a,b),(c,d)) [mm] \in [/mm] R$ gilt
[mm] $a*b=c*d\,.$
[/mm]
Nun ist zu klären, ob dann schon $(B,A)=((c,d),(a,b)) [mm] \in [/mm] R$ gilt:
Dass [mm] $c,d,a,b\,$ [/mm] alle reell und $> [mm] 0\,$ [/mm] sind, wissen wir schon (s.o.). Es ist also
nach Definition von R nur noch zu klären, ob bzw. dass
[mm] $c*d=a*b\,$
[/mm]
gilt. Das ist aber offensichtlich wegen $a*b=c*d$ (s.o.).
Fazit: Für alle $A,B [mm] \in [/mm] M$ mit $(A,B) [mm] \in [/mm] R$ (ich hatte in meiner Antwort $A [mm] \sim [/mm] B$ dafür
geschrieben) folgt auch $(B,A) [mm] \in [/mm] R$ (also $B [mm] \sim [/mm] A$).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 So 14.12.2014 | | Autor: | abakus |
Hallo,
nur zur Vervollständigung eine andere Sichtweise (das enthebt dich nicht davon, die von Marcel genannten Oberflächlichkeiten bei dem Umgang mit Definitionen usw. selbstkritisch auszuwerten).
In der Aufgabe wird ein geometrischer Ort beschrieben. Die Menge aller Punkte mit dem gleichen Produkt von x- und y-Koordinate ist jeweils eine Hyperbel. Aus x*y= 1 folgt y=1/x,
aus x*y=2,48 folgt y=2,48/x usw.
Jede dieser Hyperbeln ist eine Äquivalenzklasse.
Reflexivität: Jeder Punkt liegt auf der gleichen Hyperbel, auf der er nun mal liegt.
Symmetrie: Wenn A auf der selben Hyperbel wie B liegt, liegt B auf der selben Hyperbel wie A.
Transitivität: Wenn A, B und C auf verschiedenen Hyperbeln liegen und bei A das Koordinatenprodukt x*y kleiner als bei B ist und bei B das Koordinatenprodukt kleiner als bei C ist, ...
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 So 14.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
> Hallo,
> nur zur Vervollständigung eine andere Sichtweise (das
> enthebt dich nicht davon, die von Marcel genannten
> Oberflächlichkeiten bei dem Umgang mit Definitionen usw.
> selbstkritisch auszuwerten).
>
> In der Aufgabe wird ein geometrischer Ort beschrieben. Die
> Menge aller Punkte mit dem gleichen Produkt von x- und
> y-Koordinate ist jeweils eine Hyperbel. Aus x*y= 1 folgt
> y=1/x,
besser noch: wir haben *sogar* Äquivalenz!
> aus x*y=2,48 folgt y=2,48/x usw.
Man sollte vielleicht noch sagen, dass wir uns (wegen $x,y > [mm] 0\,$) [/mm] nur im ersten
Quadranten *bewegen*!
> Jede dieser Hyperbeln ist eine Äquivalenzklasse.
> Reflexivität: Jeder Punkt liegt auf der gleichen
> Hyperbel, auf der er nun mal liegt.
> Symmetrie: Wenn A auf der selben Hyperbel wie B liegt,
> liegt B auf der selben Hyperbel wie A.
> Transitivität: Wenn A, B und C auf verschiedenen
> Hyperbeln liegen und bei A das Koordinatenprodukt x*y
> kleiner als bei B ist und bei B das Koordinatenprodukt
> kleiner als bei C ist, ...
Interessante Sichtweise.
Gruß,
Marcel
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