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Forum "stochastische Prozesse" - Unterschied Korrelationsmatrix
Unterschied Korrelationsmatrix < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Unterschied Korrelationsmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:32 Fr 04.09.2015
Autor: laupl

Hallo,
ich habe ein praktisches Problem, das ich mal versuche mathematisch zu beschreiben. Vielleicht kann ich es dann mit eurer Hilfe lösen. Wenn etwas unklar ist, einfach fragen.

Gegeben sind die Zufallsvektoren [mm] $\boldsymbol{X} \in \IC^N$, $\boldsymbol{Y} \in \IC^N$ [/mm] und [mm] $\boldsymbol{Z} \in \IC^N$. [/mm]
Außerdem die zugehörenden Mittelwertvektoren [mm] $E(\boldsymbol{X})=[x_1\quad \hdots \quad x_N]^T$ [/mm] mit [mm] $x_i=E(X_i)$, $E(\boldsymbol{Y})=[y_1\quad \hdots \quad y_N]^T$ [/mm] mit [mm] $y_i=E(Y_i)$ [/mm] und [mm] $E(\boldsymbol{Z})=[z_1\quad \hdots \quad z_N]^T$ [/mm] mit [mm] $z_i=E(X_i+Y_i)$. $E(\cdot)$ [/mm] ist der Erwartungswert, [mm] $T\vspace{}$ [/mm] bedeutet transponiert.

Nun geht es um die Autokorrelationsmatrizen [mm] $\boldsymbol{R}_X=E(\boldsymbol{XX}^H)$, $\boldsymbol{R}_Y=E(\boldsymbol{YY}^H)& [/mm] und [mm] $\boldsymbol{R}_Z=E(\boldsymbol{ZZ}^H)$. $H\vspace{}$ [/mm] bedeutet hermitesch, also komplex konjuguiert und transponiert.

Meine Frage lautet nun, wie unterscheiden sich die beiden Matrizen [mm] $\boldsymbol{R}_X$ [/mm] und [mm] $\boldsymbol{R}_Y$ [/mm] von der Matrix [mm] $\boldsymbol{R}_Z$ [/mm] mathematisch? Lässt sich dazu eine allgemeine Aussage treffen?

Danke, Grüße

        
Bezug
Unterschied Korrelationsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:49 Fr 04.09.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

es gilt doch: [mm] $ZZ^H [/mm] = [mm] (X+Y)(X+Y)^H [/mm] = [mm] (X+Y)(X^H [/mm] + [mm] Y^H) [/mm] = [mm] XX^H [/mm] + [mm] YY^H [/mm] + [mm] XY^H [/mm] + [mm] YX^H [/mm] = [mm] XX^H [/mm] + [mm] YY^H [/mm] + [mm] XY^H [/mm] + [mm] (XY^H)^H$ [/mm]

Desweiteren ist für eine Matrix A der Erwartungswert komponentenweise definiert, so dass [mm] $E[A^H] [/mm] = [mm] \left(E[A]\right)^H$ [/mm] gilt, d.h. es gilt insgesamt:

[mm] $R_Z [/mm] = [mm] R_X [/mm] + [mm] R_Y [/mm] + K$, wobei K eine hermitische Matrix ist.

Konkret gilt $K = [mm] E[XY^H] [/mm] + [mm] \left(E[XY^H]\right)^H$ [/mm]

Ob dir das nun weiterhilft, weiß ich nicht :-)

Gruß,
Gono



Bezug
                
Bezug
Unterschied Korrelationsmatrix: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:10 Mo 07.09.2015
Autor: laupl

Hi,
danke für die Antwort!
Lässt sich allgemein etwas über die Definitheit von [mm] $\boldsymbol{R}_X$, $\boldsymbol{R}_Y$ [/mm] und [mm] $\boldsymbol{R}_Z$ [/mm] aussagen?
Kann es sein, dass [mm] $\boldsymbol{R}_X$ [/mm] und [mm] $\boldsymbol{R}_Y$ [/mm] immer positiv definit sind und [mm] $\boldsymbol{R}_Z$ [/mm] immer positiv semidefinit? Falls ja, wie kann  man das zeigen?

Bezug
                        
Bezug
Unterschied Korrelationsmatrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:33 Mi 16.09.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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