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Forum "Uni-Stochastik" - Unkorreliertheit, Unabhkeit
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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:31 Di 16.09.2014
Autor: rollroll

Aufgabe
Seien [mm] (\Omega, 2^{\Omega}, [/mm] P) ein diskreter W-Raum und X: [mm] \Omega [/mm] --> {0,1,...,10} laplaceverteilt. Des Weiteren sei [mm] Y=25-(X-5)^2. [/mm]
Überprüfe die Zufallsvariablen X und Y auf Unkorreliertheit und Unabhängigkeit.

Hallo!

Also zu berechnen ist E(X), E(Y) und E(XY).

Es ist ja [mm] E(X)=\bruch{n}{2} [/mm] = 5

[mm] E(Y)=E(-X^2+10X)= -E(X^2)+10E(X)= -E(X^2)+50 [/mm] =15

und [mm] E(X^2)=VarX+E(X)^2=10+25=35 [/mm]

wobei ´Var(X)=n(n+2)/12 = 10.

Stimmt das soweit?


        
Bezug
Unkorreliertheit, Unabhkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 Di 16.09.2014
Autor: luis52


>  
> Stimmt das soweit?
>  

Ich kann keinen Fehler entdecken.


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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Di 16.09.2014
Autor: rollroll

Das ist ja schon mal gut ;-)

Mit E(XY) hab ich allerdings Probleme...

Es ist ja [mm] E(XY)=-E(X^3)+10E(X^2) [/mm]

Aber wie kann ich jetzt [mm] E(X^3) [/mm] bestimmen?

Oder geht das auch anders?

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Bezug
Unkorreliertheit, Unabhkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 Di 16.09.2014
Autor: hanspeter.schmid

Auch [mm] $E[X^3]$ [/mm] ist machbar. Das ist das $k$-te Moment [mm] $m_k$ [/mm] für $k=3$ und kann direkt aus der Verteilung berechnet werden:

[]https://de.wikipedia.org/wiki/Moment_%28Stochastik%29#Darstellung_f.C3.BCr_reelle_Zufallsvariable

Hilft das schon weiter?


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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Di 16.09.2014
Autor: rollroll

Hier liegt aber doch ein diskreter und kein stetiger W-Raum vor...

Bezug
                                        
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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:24 Di 16.09.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


Das kommt doch auf eure Definition an! Ich schätze, dass es hier
auf folgendes hinauslaufen wird:

      [mm] E(X^3)=\sum x^3*\IP(X=x). [/mm]


Gruß
DieAcht

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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:47 Mi 17.09.2014
Autor: rollroll

[mm] E(k^3)= \bruch{1}{n+1} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3 [/mm] = [mm] n^2(n+1)/4 [/mm]

Das wäre aber für n=10 2525, ich glaube nicht dass das Sinn macht...

Bezug
                                                        
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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:38 Mi 17.09.2014
Autor: schachuzipus

Hallo,


> [mm]E(\red{k}^3)= \bruch{1}{n+1}[/mm] * [mm]\summe_{k=1}^{n} k^3[/mm] = [mm]n^2(n+1)/4[/mm] [ok]

[mm] $E\left[\red X^3\right]$ [/mm]

>

> Das wäre aber für n=10 2525 [ok] , ich glaube nicht dass das
> Sinn macht...

Warum nicht?

Die Rechnung sieht richtig aus ...

Gruß

schachuzipus

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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Mi 17.09.2014
Autor: luis52


> [mm]E(k^3)= \bruch{1}{n+1}[/mm] * [mm]\summe_{k=1}^{n} k^3[/mm] = [mm]n^2(n+1)/4[/mm]
>  
> Das wäre aber für n=10 2525, ich glaube nicht dass das
> Sinn macht...

In der Tat, das Ergebnis ist 275.


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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:12 Mi 17.09.2014
Autor: rollroll

Und wo ist mein Fehler?  Bzw. wie kommst du auf deine loesung?

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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Mi 17.09.2014
Autor: DieAcht


> Und wo ist mein Fehler?

Es gilt:

      [mm] \frac{10^2(10+1)}{4}=\frac{1100}{4}=275. [/mm]

> Bzw. wie kommst du auf deine loesung?

Luis hat dir vorgeschlagen, die Verteilung von [mm] $X*Y\$ [/mm] zu betrachten.
Sein Vorschlag ist übrigens meiner Meinung nach auch eleganter. ;-)

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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 Mi 17.09.2014
Autor: luis52


> Und wo ist mein Fehler?  Bzw. wie kommst du auf deine
> loesung?  

*Ich* rechne so [mm] $10^2\cdot(10+1)/4=275$. [/mm]


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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 Mi 17.09.2014
Autor: rollroll

Ok, danke!

Also sind X und Y unkorreliert, da E(X)*E(Y)-E(XY)=0.

Wie kann ich nun noch die Unabhängigkeit überprüfen?



Bezug
                                                                                        
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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Mi 17.09.2014
Autor: DieAcht


> Also sind X und Y unkorreliert, da E(X)*E(Y)-E(XY)=0.

Richtig. Das nächste Mal bitte zitieren, sodass man nicht immer
wieder hin und her muss um das zu kontrollieren.

> Wie kann ich nun noch die Unabhängigkeit überprüfen?

Wieso guckst du nicht wenigstens in dein Skript? Das ist nun das
zweite Mal, dass ich raten muss und das will ich nicht, aber ich
gehe von einem Satz aus, der unmittelbar nach eurer Definition
stehen sollte.

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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Mi 17.09.2014
Autor: rollroll

Meistens ist es bei diesen Aufgaben ja so, dass die beiden ZV unkorreliert aber nicht unabhängig sind. Deshalb versuche ich ein Gegenbeispiel zur Unabhängigkeit zu finden.... Bisher bin ich aber nicht fündig geworden.

Bezug
                                                                                                        
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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:16 Do 18.09.2014
Autor: rollroll

Habt ihr eine Idee?

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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:16 Do 18.09.2014
Autor: rollroll

Würde es z.b. so gehen: P (X=0) * P (Y=1) ist ungleich P (X=0 [mm] \cap [/mm] Y=1) = [mm] \emptyset [/mm]

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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:23 Do 18.09.2014
Autor: luis52


> Würde es z.b. so gehen: P (X=0) * P (Y=1) ist ungleich P
> (X=0 [mm]\cap[/mm] Y=1) = [mm]\emptyset[/mm]  

Nein, weil

$P [mm] ((X=0)\cap(Y [/mm] =1)) = [mm] \red{P}(\emptyset)=0$ [/mm]  und $P(Y=1)=0$.

Warum ignorierst du meinen Vorschlag?

[gutenacht]



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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 Fr 19.09.2014
Autor: rollroll

P(X=0) = 1/11

Aber wie bestimme ich P(Y=0)

Y nimmt ja den wert 0 für x=0 und X=10 an.

Und P( X=0 [mm] \cap [/mm] Y=0) = 1/11 ?

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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Fr 19.09.2014
Autor: luis52


> P(X=0) = 1/11

[ok]

>  
> Aber wie bestimme ich P(Y=0)
>  
> Y nimmt ja den wert 0 für x=0 und X=10 an.

Also ist $P(Y=0)=2/11$.

>  
> Und P( X=0 [mm]\cap[/mm] Y=0) = 1/11 ?

[ok]


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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Do 18.09.2014
Autor: luis52

Moin, sind  $(Y=0)$ und $(X=0)$ unabhaengig?

Bezug
                                                                        
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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:45 Mi 17.09.2014
Autor: schachuzipus

Hi,

ich glaube, wir haben beide so "gerechnet":

[mm] $(100)\cdot{}(101)/4$ [/mm] ...

Also statt mit $10+1$ mit [mm] $10^2+1$ [/mm] ...

Gruß

schachuzipus

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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:04 Mi 17.09.2014
Autor: luis52


> Hi,
>  
> ich glaube, wir haben beide so "gerechnet":
>  
> [mm](100)\cdot{}(101)/4[/mm] ...
>  
> Also statt mit [mm]10+1[/mm] mit [mm]10^2+1[/mm] ...


Ts, ts, ts ... ;-)

Bezug
                                                                                        
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Unkorreliertheit, Unabhkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:08 Mi 17.09.2014
Autor: schachuzipus

Moinsen,

> > Hi,
> >
> > ich glaube, wir haben beide so "gerechnet":
> >
> > [mm](100)\cdot{}(101)/4[/mm] ...
> >
> > Also statt mit [mm]10+1[/mm] mit [mm]10^2+1[/mm] ...

>
>

> Ts, ts, ts ... ;-)

Es sind ja genügend "Wachhunde" hier ;-)

LG

schachuzipus

Bezug
                        
Bezug
Unkorreliertheit, Unabhkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Di 16.09.2014
Autor: luis52


> Oder geht das auch anders?

Durchaus. Berechne die Verteilung von [mm] $X\cdot [/mm] Y$.


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