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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Unklarheit komplexe Potenzen
Unklarheit komplexe Potenzen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Unklarheit komplexe Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Di 29.07.2014
Autor: Diophant

Hallo,

im Zuge der Bearbeitung einer Übungsaufgabe ist mir eine Unklarheit aufgefallen, wo ich meine bisherigen Kenntnisse und einen Lösungshinweis nicht in Einklang bringen kann.

I.A. ist ja das Potenzgesetz

[mm] (a*b)^r=a^r*b^r [/mm] (*)

im Komplexen nicht gültig. Bisher ging ich stets davon aus, dass dies dann ebenso auf

[mm] \left (  \frac{a}{b} \right )^r= \frac{a^r}{b^r} [/mm] (**)

zutrifft.

Die Aufgabe, um die es geht, heißt so:

Man löse die Gleichung

(z-1)^10=z^10

indem man zunächst durch z^10 dividiert und anschließend

[mm] w=\bruch{z-1}{z} [/mm]

substituiert (wobei zu beachten ist, dass hier nicht alle 10 Einheitswurzeln zu Lösungen der Augangsgleichung führen, da diese streng genommen 9. Grades ist).

Ich habe die Aufgabe mit diesem Hinweis gelöst bekommen und auch per CAS meine Lösungen überprüft. Was mir nicht ganz klar ist: weshalb darf man das tun bzw. weshalb funktioniert das?

Kann es sein, dass man (*) und (**) auf Grund der Mehrdeutigkeit der komplexen Wurzelfunktion von rechts nach links anwenden darf, nur nicht umgekehrt?

Vielen Dank im Voraus für jede Antwort.


Gruß, Diophant

 

        
Bezug
Unklarheit komplexe Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Di 29.07.2014
Autor: MaslanyFanclub

Hallo,

10 ist eine natürliche Zahl.
Für jede natürliche Zahl gilt
[mm] $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ [/mm] z.B. in jeder abelschen Gruppe [mm] $(G,\cdot)$ [/mm] wie es bspw. [mm] $(\mathbb [/mm] C^*, [mm] \cdot [/mm] )$ eine ist.

Die Probleme beginnen erst bei rationalen Exponenten.

Bezug
                
Bezug
Unklarheit komplexe Potenzen: Kopf -> Tisch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:25 Di 29.07.2014
Autor: Diophant

Moin,

> Hallo,

>

> 10 ist eine natürliche Zahl.
> Für jede natürliche Zahl gilt
> [mm](a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n[/mm] z.B. in jeder abelschen Gruppe
> [mm](G,\cdot)[/mm] wie es bspw. [mm](\mathbb C^*, \cdot )[/mm] eine ist.

>

> Die Probleme beginnen erst bei rationalen Exponenten.

Vielen Dank! Das beantwortet meine Frage, und da hätte ich selbst draufkommen können. Aber manchmal übersieht man die gerade die einfachsten Dinge...

Beste Grüße, Diophant

Bezug
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