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| Aufgabe | [mm] \integral_{-1}^{1}\bruch{x}{1-x^{2}} [/mm] dx
Konvergiert es oder nicht? |
Hallo,
hierzu kann ich die Stammfunktion irgendwie nicht bestimmen. Ich habe folgendes gemacht:
[mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\0} \integral_{-1}^{-\varepsilon}\bruch{x}{1-x^{2}} [/mm] + [mm] \limes_{\delta\rightarrow\0}\integral_{\delta}^{1}\bruch{x}{1-x^{2}}. [/mm] Epsilon und delta konvergieren gegen Null( konnte das irgendwie nicht eintragen)
= lim [mm] [-\bruch{ln(1-\epsilon^{2}}{2} [/mm] in den Grenzen -1 bis -epsilon + lim [mm] [-\bruch{ln(1-\epsilon^{2}}{2} [/mm] in den Grenzen delta bis 1
Ist das nicht 0-0+0-0=0?
Für die Schreibweise entschuldige ich mich, es sieht nicht so toll aus, ich weiß, aber ich konnte es vom ipad aus nicht anders abtippen, tut mir wirklich leid, wenn etwas fehlt oder so, sagt mir einfach bescheid, aber es müsste alles so stimmen.
Die Grenzen habe ich als erstes aufgeteilt und die Stammfunktion bestimmt, aber ich muss zugeben, dass ich das online gemacht habe, weil ich mir nicht sicher wie das ging, kann man das auch anders rausbekommen? Und das Ergebnis ist sicherlich auch falsch, daher brauche ich eure Hilfe.
Gruß
Ela
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Hallo,
die Stammfunktion kannst du doch ganz schnell bestimmen, wenn du mal schaust, wie der Integrand aufgebaut ist.
Schauen wir mal: Wir definieren mal a(x)=x, und [mm] b(x)=1-x^2
[/mm]
[mm] f(x)=\frac{a(x)}{b(x)}=\frac{-1/2b'(x)}{b(x)}
[/mm]
So, das sollte dir schon einige Hinweise geben. Denn es gilt ja:
[mm] \int\frac{f'}{f}=\ln|f|+c
[/mm]
Damit findet sich schnell die Stammfunktion bei deiner Aufgabe.
> [mm]\integral_{-1}^{1}\bruch{x}{1-x^{2}}[/mm] dx
> Konvergiert es oder nicht?
> Hallo,
>
> hierzu kann ich die Stammfunktion irgendwie nicht
> bestimmen. Ich habe folgendes gemacht:
> [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\0} \integral_{-1}^{-\varepsilon}\bruch{x}{1-x^{2}}[/mm]
> +
> [mm]\limes_{\delta\rightarrow\0}\integral_{\delta}^{1}\bruch{x}{1-x^{2}}.[/mm]
> Epsilon und delta konvergieren gegen Null( konnte das
> irgendwie nicht eintragen)
> = lim [mm][-\bruch{ln(1-\epsilon^{2}}{2}[/mm] in den Grenzen -1 bis
> -epsilon + lim [mm][-\bruch{ln(1-\epsilon^{2}}{2}[/mm] in den
> Grenzen delta bis 1
Was ist denn [mm] \ln0 [/mm] ? Ja. Nicht definiert. Es ist [mm] \lim_{x\to0+}\lnx=-\infty.
[/mm]
> Ist das nicht 0-0+0-0=0?
>
> Für die Schreibweise entschuldige ich mich, es sieht nicht
> so toll aus, ich weiß, aber ich konnte es vom ipad aus
> nicht anders abtippen, tut mir wirklich leid, wenn etwas
> fehlt oder so, sagt mir einfach bescheid, aber es müsste
> alles so stimmen.
> Die Grenzen habe ich als erstes aufgeteilt und die
> Stammfunktion bestimmt, aber ich muss zugeben, dass ich das
> online gemacht habe, weil ich mir nicht sicher wie das
> ging, kann man das auch anders rausbekommen? Und das
> Ergebnis ist sicherlich auch falsch, daher brauche ich eure
> Hilfe.
>
> Gruß
> Ela
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Hallo,
kann es dann sein, dass die Stammfunktion [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] ist, das wäre ja dann der arctan(x)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Do 27.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> kann es dann sein, dass die Stammfunktion [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm]
> ist, das wäre ja dann der arctan(x)?
>
Nein, kann es nicht.
Im Zähler steht (fast) die Ableitung des Nenners. Das weist eindeutig in eine ganz andere Richtung.
Wenn du damit nichts anfangen kannst, dann vergiss diesen Hinweis lieber gleich und mache lieber eine Partialbruchzerlegung (der Nenner [mm] $1-x^2$ [/mm] lässt sich in ein Produkt umformen).
Gruß Abakus
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Hallo,
nee, ich würde das lieber mit dem ersten Hinweis machen woll, wir hatten so etwas ähnliches, aber ich weiß nicht wie ich das umformen soll. Also mit deinem Tipp müsste das ja so aussehen: [mm] \bruch {-1/2-2x}{1-x^{2}} [/mm] oder? Die Ableitung steht dann im Zähler, aber was mache ich nun?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Do 27.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> nee, ich würde das lieber mit dem ersten Hinweis machen
> woll, wir hatten so etwas ähnliches, aber ich weiß nicht
> wie ich das umformen soll. Also mit deinem Tipp müsste das
> ja so aussehen: [mm]\bruch {-1/2-2x}{1-x^{2}}[/mm] oder?
Da haben wir ja dann wohl den Fall "oder".
Würde im Zähler die Ableitung des Nenners Stehen, müsste da "-2x" zu sehen sein und nichst anderes.
In Wirklichkeit steht da aber "x". Das ist betragsmäßig nur die Hälfte, und das Vorzeichen ist auch falsch. Du brauchst also zur Korrektur einen konstanten Faktor -1/2 und (keinen sinnlosen Summanden -1/2).
Gruß Abakus
> Die Ableitung steht dann im Zähler, aber was mache ich nun?
>
> Gruß
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Hi,
ich dachte, das Minuszeichen gehört noch dazu. Also:
[mm] \bruch{(-1/2)*2x}{1-x^{2}}?
[/mm]
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Do 27.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Hi,
>
> ich dachte, das Minuszeichen gehört noch dazu. Also:
> [mm]\bruch{(-1/2)*2x}{1-x^{2}}?[/mm]
Nein.
[mm]\bruch{x}{1-x^{2}}[/mm] kann man umschreiben in [mm]\bruch{(-1/2)*(-2x)}{1-x^{2}}= -\frac{1}{2}*\bruch{-2x}{1-x^{2}}[/mm].
>
> Lg
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Hallo,
das ist dann die Stammfunktion? Und die Rechnung, die ich am Anfang gemacht habe, kann ich die dann für diese Stammfunktion übernehmen?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Do 27.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. leite mal [mm] ln(1-x^2) [/mm] ab. dann solltest du die Stammfkt kennen.
Wenn man eine Stammfkt rät kann man das doch immer durch differenzieren übeptüfen?
2. aber die kritischen Stellen sind doch -1 und +1 und nicht 0 also ist deine Aufteilung sinnlos. du musst von -a bis +a integrieren und dann a gegen 1
Gruss leduart
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Hallo,
die Ableitung ist doch [mm] \bruch{-2x}{1-x^2}. [/mm] Ist [mm] ln(1-x^2 [/mm] eine andere Schreibweise für mein Integral? Ich bin jetzt verwirrt, wieso muss ich das jetzt ableiten, oder ist daswas ich jetzt raushabe die Stammfunktion davon? Kann mir das vielleicht jemand mit den Grenzen ordentlich aufschreiben? Ich komme überhaupt nicht mehr weiter.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Fr 28.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du [mm] x^2+C [/mm] ableitest hast du 2*x DESHALB ist [mm] \integral{x dx}=x^2/2+C [/mm]
wenn du [mm] ln(1-x^2) [/mm] ableitest hast du -2* [mm] x/(1-x^2) [/mm] was also ist
[mm] \integral_{a}^{b}{x/(1-x^2)dx}
[/mm]
bitte denk ein wenig mit
[mm] \integral_{-a}^{b}{x/(1-x^2 dx} =-1/2ln(1-x^2) |^b_-a
[/mm]
dass es ddie richtige Stammfkt ist zeigst du durch ableiten.
Gruß leduart
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Hallo,
[mm] -1/2*ln(1-x^2) [/mm] ist also die Stammfunktion von dem Integral? Ich muss also nun neue Grenzwerte bilden, -1 bis -epsilon und delta bis 1. passt das so?
Gruß
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Hallo,
> Hallo,
>
> [mm]-1/2*ln(1-x^2)[/mm] ist also die Stammfunktion von dem Integral?
Nein. Zumindest nicht generell. Die korrekte Stammfunktion lautet
[mm] F(x)=-\bruch{1}{2}*ln|1-x^2|
[/mm]
Für das betrachtete Intervall (-1;1) ist deine Version jedoch (zufälligerweise!) auch richtig.
> Ich muss also nun neue Grenzwerte bilden, -1 bis -epsilon
> und delta bis 1. passt das so?
Nein, es ist völlig falsch. Und auch hier gilt: es wurde bereits alles gesagt, du musst die gegebenen Antworten durcharbeiten. FRED hat dir dezidiert geschrieben, was zu berechnen/zu untersuchen ist!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 Do 27.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
um eine Aufteilung kommt man nicht herum, weil der Integrationsbereich zwei kritische Grenzen hat.
Man kann sich nicht mit einem gemeinsamen a gleichzeitig an die untere und an die obere Integrationsgrenze heranpirschen.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Fr 28.03.2014 | | Autor: | fred97 |
Das Integral $ [mm] \integral_{-1}^{1}\bruch{x}{1-x^{2}} [/mm] $ dx konvergiert [mm] \gdw [/mm] die Integrale $ [mm] \integral_{-1}^{0}\bruch{x}{1-x^{2}} [/mm] $ dx und $ [mm] \integral_{0}^{1}\bruch{x}{1-x^{2}} [/mm] $ dx sind beide(!) konvergent.
Zeige: das Integral $ [mm] \integral_{0}^{1}\bruch{x}{1-x^{2}} [/mm] $ dx ist divergent.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Sa 29.03.2014 | | Autor: | abakus |
> [mm]\integral_{-1}^{1}\bruch{x}{1-x^{2}}[/mm] dx
> Konvergiert es oder nicht?
> Hallo,
>
> hierzu kann ich die Stammfunktion irgendwie nicht
> bestimmen. Ich habe folgendes gemacht:
> [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\0} \integral_{-1}^{-\varepsilon}\bruch{x}{1-x^{2}}[/mm]
Hallo,
mir fällt gerade auf, dass es sich bei [mm]f(x)=\bruch{x}{1-x^{2}}[/mm] um eine Funktion handelt, bei der f(x)=-f(-x) gilt.
Somit müsste [mm]\integral_{-a}^{a}\bruch{x}{1-x^{2}}dx=0[/mm] gelten.
Gruß Abakus
> +
> [mm]\limes_{\delta\rightarrow\0}\integral_{\delta}^{1}\bruch{x}{1-x^{2}}.[/mm]
> Epsilon und delta konvergieren gegen Null( konnte das
> irgendwie nicht eintragen)
> = lim [mm][-\bruch{ln(1-\epsilon^{2}}{2}[/mm] in den Grenzen -1 bis
> -epsilon + lim [mm][-\bruch{ln(1-\epsilon^{2}}{2}[/mm] in den
> Grenzen delta bis 1
> Ist das nicht 0-0+0-0=0?
>
> Für die Schreibweise entschuldige ich mich, es sieht nicht
> so toll aus, ich weiß, aber ich konnte es vom ipad aus
> nicht anders abtippen, tut mir wirklich leid, wenn etwas
> fehlt oder so, sagt mir einfach bescheid, aber es müsste
> alles so stimmen.
> Die Grenzen habe ich als erstes aufgeteilt und die
> Stammfunktion bestimmt, aber ich muss zugeben, dass ich das
> online gemacht habe, weil ich mir nicht sicher wie das
> ging, kann man das auch anders rausbekommen? Und das
> Ergebnis ist sicherlich auch falsch, daher brauche ich eure
> Hilfe.
>
> Gruß
> Ela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Sa 29.03.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Somit müsste [mm]\integral_{-a}^{a}\bruch{x}{1-x^{2}}dx=0[/mm] gelten.
Ja, für a<1 stimmt das.
Problem: Bringt bei der Bestimmung des uneigentlichen Integrals leider gar nichts, da die Integrale auch existieren müssen, wenn die Grenzen unabhängig laufen.
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:23 So 30.03.2014 | | Autor: | fred97 |
Hallo Abakus,
mit dieser Argumentation, wäre auch das Integral [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{x dx} [/mm] konvergent.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 So 30.03.2014 | | Autor: | xxela89xx |
Hallo,
Ich danke dir! Aber so wie ich das verstanden habe, bringt mich das glaube ich nicht weiter oder?
Gruß
Ela
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