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Forum "Integration" - Uneigentliches Integral
Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 So 29.06.2014
Autor: rollroll

Aufgabe
Hallo,

ich möchte folgendes Integral berechnen:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^n exp(-0,5x^2) dx}, [/mm] wobei n gerade ist.

Für den Fall, dass n ungerade ist, ist das Integral ja in jedem Fall 0, deshalb habe ich es mal auf n gerade eingeschränkt. Ich habe es bereits mit partieller Integration versucht, komme aber nicht wirklich weiter.

Für eure Hilfe wäre ich wie immer sehr dankbar.

        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 So 29.06.2014
Autor: abakus


> Hallo,

>

> ich möchte folgendes Integral berechnen:
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^n exp(-0,5x^2) dx},[/mm] wobei n
> gerade ist.
> Für den Fall, dass n ungerade ist, ist das Integral ja in
> jedem Fall 0, deshalb habe ich es mal auf n gerade
> eingeschränkt. Ich habe es bereits mit partieller
> Integration versucht, komme aber nicht wirklich weiter.

Hallo,
wenn du (n-1)mal partiell integrierst, kommst du zu einer Stammfunktion.
Gruß Abakus
>

> Für eure Hilfe wäre ich wie immer sehr dankbar.

Bezug
                
Bezug
Uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 So 29.06.2014
Autor: rollroll

Wie genau soll ich denn partiell integrieren?

Bezug
                        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 So 29.06.2014
Autor: MathePower

Hallo rollroll,

> Wie genau soll ich denn partiell integrieren?


Z.B. so:

[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^n exp(-0,5x^2) dx}=\integral_{-\infty}^{\infty}{x^{n-1}*\left( \ x* exp(-0,5x^2) \ \right) \ dx}[/mm]


Gruss
MathePower

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Uneigentliches Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:06 So 29.06.2014
Autor: abakus

Ich habe mal wolframalpha befragt.
Bei ungeraden Exponenten wie z.B. 7 erhält man das hier:
integral [mm] x^7 [/mm] exp(-0.5 [mm] x^2) [/mm] dx = -e^(-0.5 [mm] x^2) (x^6+6. x^4+24. x^2+48.)+constant [/mm]
Mit geraden Exponenten wie z.B. 8 sieht es aber so aus:
integral [mm] x^8 [/mm] exp(-0.5 [mm] x^2) [/mm] dx = 131.598 erf(0.707107 x)+e^(-0.5 [mm] x^2) (-x^7-7. x^5-35. x^3-105. [/mm] x)+constant.
Gruß Abakus
 

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Uneigentliches Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:14 So 29.06.2014
Autor: rmix22


> Ich habe mal wolframalpha befragt.
>  Bei ungeraden Exponenten wie z.B. 7 erhält man das hier:
>  integral [mm]x^7[/mm] exp(-0.5 [mm]x^2)[/mm] dx = -e^(-0.5 [mm]x^2) (x^6+6. x^4+24. x^2+48.)+constant[/mm]
>  
> Mit geraden Exponenten wie z.B. 8 sieht es aber so aus:
>  integral [mm]x^8[/mm] exp(-0.5 [mm]x^2)[/mm] dx = 131.598 erf(0.707107
> x)+e^(-0.5 [mm]x^2) (-x^7-7. x^5-35. x^3-105.[/mm] x)+constant.
>  Gruß Abakus
>   

Ich glaub durchaus dem Ergebnis von Wolfram Alpha, aber gefragt ist ja nach dem uneigentlichen Integral von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty. [/mm]

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Uneigentliches Integral: Ergebnis ohne Herleitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 So 29.06.2014
Autor: rmix22

Ich bin neu in diesem Forum und vermutlich lass ich gerade kein Fettnäpfchen aus um reinzutappen. Aber ich wundere mich gerade, wieso zweimal in diesem Thread eine Frage als beantwortet erscheint, obwohl die beiden Replys ja wohl kaum zufriedenstellende Antworten darstellen.
Die Lösung ist ja wohl allgemein für beliebige n gesucht und da ist der Hinweis, man möge doch n-1 mal partiell integrieren nicht allzu hilfreich (es sei denn man erkennt dabei eine Rekursionsformel für das Integral, aber dazu reichen ja idR auch ein bis zwei partielle Integrationen).

Divere Mathe Software liefert als Ergebnis für gerade Werte von n

[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^n exp(-0,5x^2) dx} = \bruch{n+1}{2}\*\Gamma(\bruch{n+1}{2}) [/mm]

Die Herleitung ist vermutlich nicht durch einfache partielle Integration zu bewerkstelligen. Möglicherweise gehts aber doch über das unbestimmte Integral und die sich dabei einstellende Gaußsche Fehlerfunktion.

Bezug
        
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Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 So 29.06.2014
Autor: Leopold_Gast

Der Hinweis von MathePower führt zum Ziel. Wegen

[mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}x^2} \right) = -x \cdot \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}x^2}[/mm]

folgt für [mm]n \geq 2[/mm] mittels partieller Integration

[mm]\int_{- \infty}^{\infty} x^n \cdot \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}x^2} ~ \mathrm{d}x = \underbrace{\left. - x^{n-1} \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}x^2} \right|_{- \infty}^{\infty}}_{0} \ + \ (n-1) \int_{- \infty}^{\infty} x^{n-2} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}x^2} ~ \mathrm{d}x[/mm]

Daß sich vorne 0 ergibt, liegt am Wachstum der Exponentialfunktion: exponentielles Wachstum schlägt polynomiales.

Wenn man also

[mm]I_n = \int_{- \infty}^{\infty} x^n \cdot \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}x^2} ~ \mathrm{d}x[/mm]

setzt, so gilt die Rekursionsbeziehung:

[mm]I_n = (n-1) \cdot I_{n-2}[/mm]

Wenn nun [mm]n[/mm] gerade ist und man die Rekursion immer wieder anwendet, landet man schließlich bei

[mm]I_0 = \int_{- \infty}^{\infty} \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}x^2} ~ \mathrm{d}x = \sqrt{2 \pi}[/mm] (Gaußsches Fehlerintegral)

Und so wird die Rechnung durchgeführt.

[mm]I_n = (n-1) \cdot I_{n-2} = (n-1)(n-3) \cdot I_{n-4} = \ldots[/mm]

[mm]= (n-1)(n-3) \cdots 3 \cdot I_2 = (n-1)(n-3) \cdots 3 \cdot 1 \cdot I_0[/mm]

[mm]= 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (n-1) \cdot \sqrt{2 \pi}[/mm]

Bezug
                
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Uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 So 29.06.2014
Autor: rollroll

Hallo. Kannst du nochmal die Schritte ab ,, und so wirs die Rechnung durchgeführt'" erklären?  Ich habe bei dem ursprünglichen integral noch den vorfaktor 1/ sqrt2 vergessen.  Wie wirkt sich das auf die loesung aus?

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Uneigentliches Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:57 So 29.06.2014
Autor: Leopold_Gast

Ich habe doch die Rechnung im Detail durchgeführt. Was ist daran nicht klar?

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Uneigentliches Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:14 So 29.06.2014
Autor: rollroll

Ich hatte meine obige Frage noch etwas ausgedehnt.

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Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 So 29.06.2014
Autor: Leopold_Gast

[mm]\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 \pi} = \sqrt{\pi}[/mm]

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