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Uneigentliche Integral, Trig,: a)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 Mo 10.08.2015
Autor: sissile

Aufgabe
Betrachten Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale konvergent, uneigentlich konvergent oder nicht konvergent sind:
[mm] \int_1^\infty \frac{arctan(-e^x)}{sin(1/x)}dx [/mm]



Hallo,
Da es in dem Intervall keine Nullstellen des Nenners gibt bleibt nur die kritische obere Grenze unendlich anzuschauen.

Ich vermute Divergenz.
Meine Gedanken zu möglichen Abschätzungen:
Die Abschätzuns sin(u)>u/2 für 0 [mm] \le [/mm] u [mm] \le \pi/3 [/mm] ist hier zwar anwendbar da 0 < u:=1/x < [mm] \pi/3 [/mm] ist, jedoch geht die Abschätzung in die falsche Richtung für die Suche nach einer divergenten Minorante.
Die Reihendarstellung kann ich nur für den Sinus verwenden denn beim arctan ist das |Argument| nicht kleiner als 1.

Für |x|<1:
sin [mm] x=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k*\frac{x^(2k+1)}{(2k+1)!}=x-x^3/3!+x^5/5!... [/mm]
sin x [mm] \le [/mm] x
sin x [mm] \ge x-x^3/3! [/mm]
sin x [mm] \le x-x^3/3!+x^5/5 [/mm]


Wegen [mm] \lim_{x\rightarrow\infty} arctan(-e^x)=- \pi/2 [/mm] wird meine Abschätzung von [mm] arctan(-e^x) [/mm] auch immer negativ aber eine Minorante muss positiv sein.

Ich würde mich über einen Tipp freuen;)
LG,
sissi

        
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Uneigentliche Integral, Trig,: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 Mo 10.08.2015
Autor: leduart

Hallo
der Integrand ist monoton, wenn [mm] \integral_{1}^{Infty}{f(x) dx} [/mm] konvergiert oder divergiert dann auch [mm] -\integral_{1}^{Infty}{f(x) dx} [/mm] d.h. dein minus ist kein Hindernis-
falsch ist sin(x)>x, richtig ist sin(x)<x für alle x>0 f(x)=x ist Tangente in 0 und sin bleibt unter der Tangente
richtig ist z.B.sin(x)>0,5x für x<1  
Gruss leduart

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Uneigentliche Integral, Trig,: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:12 Di 11.08.2015
Autor: sissile

Danke für deine Antwort!

Wie kommst du denn auf dieses Kriterium? Aus welchen Kriterium folgt es?
[mm] \int_1^\infty [/mm] f(x) konvergiert wenn f für jedes t>1 auf [1,t] R-integrierbar und [mm] \int_a^t [/mm] f (x) [mm] \rightarrow [/mm] J für t [mm] \rightarrow \infty. [/mm]
[mm] -\int_1^t f(x)=\int_1^t [/mm] -f(x) ist ebenfalls R-integrierbar für jedes t>1
ZZ.: [mm] -\int_a^t [/mm] f (x) [mm] \rightarrow [/mm] S für t [mm] \rightarrow \infty. [/mm]
Wenn (f) monoton steigend ist, ist (-f) als Spiegelung an der x-Achse monoton fallend.
??

Wir hatten nur das Monotoniekriterium:
Im Fall f [mm] \ge [/mm] 0 existiert [mm] \int_a^\infty [/mm] f dx genau dann, wenn mit einer gewissen Konstante K>0 gilt:
[mm] \int_a^t [/mm] f dx  [mm] \le [/mm] K für alle t>a.


Die Aufgabe wäre sonst geklärt.
- [mm] \frac{arctan(-e^x)}{sin(1/x)} [/mm] > [mm] \frac{- arctan(-e)}{sin(1/x)} [/mm] > [mm] \frac{-arctan(-e)}{x} [/mm] und damit ist - arctan(-e) [mm] \int_1^\infty \frac{1}{x}dx [/mm] eine diergente Minorante für [mm] -\integral_{1}^{\infty} \frac{artan(-e^x)}{sin(1/x)} [/mm] dx .

Bezug
                        
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Uneigentliche Integral, Trig,: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:00 Di 11.08.2015
Autor: fred97


> Danke für deine Antwort!
>  
> Wie kommst du denn auf dieses Kriterium? Aus welchen
> Kriterium folgt es?
>  [mm]\int_1^\infty[/mm] f(x) konvergiert wenn f für jedes t>1 auf
> [1,t] R-integrierbar und [mm]\int_a^t[/mm] f (x) [mm]\rightarrow[/mm] J für
> t [mm]\rightarrow \infty.[/mm]
>  [mm]-\int_1^t f(x)=\int_1^t[/mm] -f(x) ist
> ebenfalls R-integrierbar für jedes t>1
>  ZZ.: [mm]-\int_a^t[/mm] f (x) [mm]\rightarrow[/mm] S für t [mm]\rightarrow \infty.[/mm]
>  
> Wenn (f) monoton steigend ist, ist (-f) als Spiegelung an
> der x-Achse monoton fallend.
>  ??
>  
> Wir hatten nur das Monotoniekriterium:
>  Im Fall f [mm]\ge[/mm] 0 existiert [mm]\int_a^\infty[/mm] f dx genau dann,
> wenn mit einer gewissen Konstante K>0 gilt:
>  [mm]\int_a^t[/mm] f dx  [mm]\le[/mm] K für alle t>a.
>  
>
> Die Aufgabe wäre sonst geklärt.
>  - [mm]\frac{arctan(-e^x)}{sin(1/x)}[/mm] > [mm]\frac{- arctan(-e)}{sin(1/x)}[/mm]

> > [mm]\frac{-arctan(-e)}{x}[/mm] und damit ist - arctan(-e)
> [mm]\int_1^\infty \frac{1}{x}dx[/mm] eine diergente Minorante für
> [mm]-\integral_{1}^{\infty} \frac{artan(-e^x)}{sin(1/x)}[/mm] dx .

Alles richtig

FRED


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Uneigentliche Integral, Trig,: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Di 11.08.2015
Autor: sissile

Hallo,
Danke für deine Antwort.

Wie kann eine Frage richtig sein?
Ich hatte noch nicht verstanden warum aus der Monotonie des Integranden folgt: $ [mm] \integral_{1}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] $ konvergiert [mm] \gdw [/mm] $ [mm] \integral_{1}^{\infty}{-f(x) dx} [/mm] $ konvergiert.
Wozu brauche ich da die Monotonie des Integranden?

Lg,
sissi

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Uneigentliche Integral, Trig,: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Di 11.08.2015
Autor: leduart

Hallo
ich h'tte genauer formulieren sollen>
wenn  [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} [/mm] konvergiert, dann auch [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm]
deine Funktion ist überall negativ, und monoton fallend d.h. der GW ist negativ aber  vom Betrag her dasselbe wie [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} [/mm]
Monoton ist dabei nicht nötig, nur ein Vorzeichen im ganzen Integrationsbereich.
Gruß ledum

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Uneigentliche Integral, Trig,: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Do 13.08.2015
Autor: sissile

Hallo,
Ich denke ich habe verstanden was du meinst:

Da f(x)<0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [1,\infty) [/mm] folgt aus Divergenz von |f(x)|=-f(x) die Divergenz von f(x).
Allgemein formuliert: Ist f(x) nur positiv (oder nur negativ) im zu integrierenden Intervall dann gilt: [mm] \int_{I} [/mm] f(x) existiert genau dann wenn [mm] \int_{I} [/mm] - f(x) existiert.
Beweis: Monotoniekriterium, denn das Integral [mm] \int_a^t [/mm] f d(x)wächst im Fall f [mm] \ge [/mm] 0 monoton mit t. Und imm Fall f [mm] \le [/mm] 0 fällt es monoton mit t.

Ich hoffe ich hab das nun richtig verstanden auf was du hinauswolltest.
LG,
sissi


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Uneigentliche Integral, Trig,: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:28 Fr 14.08.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  Ich denke ich habe verstanden was du meinst:
>  
> Da f(x)<0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in [1,\infty)[/mm] folgt aus Divergenz von
> |f(x)|=-f(x) die Divergenz von f(x).
>  Allgemein formuliert: Ist f(x) nur positiv (oder nur
> negativ) im zu integrierenden Intervall dann gilt: [mm]\int_{I}[/mm]
> f(x) existiert genau dann wenn [mm]\int_{I}[/mm] - f(x) existiert.



Das gilt doch immer !! Das folgende formuliere ich nur für uneigentliche Integrale der Form [mm] \integral_{a}^{\infty}{f(t) dt}. [/mm] Entsprechendes gilt für andere Typen uneigentlicher Integrale.

Sei also a [mm] \in \IR, [/mm] $f:[a, [mm] \infty) \to \IR$ [/mm] eine Funktion und f sei Riemann-integrierbar über jedes Intervall [a,b] mit b>a. Dann:

   [mm] \integral_{a}^{\infty}{f(t) dt} [/mm] konvergiert  [mm] \gdw \integral_{a}^{\infty}{(-f(t)) dt} [/mm] konvergiert.

In diesem Fall ist

   [mm] $\integral_{a}^{\infty}{(-f(t)) dt}=-\integral_{a}^{\infty}{f(t) dt}$ [/mm]

Beweis: für $x [mm] \in [/mm] [a, [mm] \infty)$ [/mm] setze g(x)=-f(x),

  $ [mm] F(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt}$ [/mm]  und [mm] $G(x)=\integral_{a}^{x}{(-f(t) )dt} [/mm] $.

Dann haben wir G=-F auf [a, [mm] \infty). [/mm]

[mm] \integral_{a}^{\infty}{f(t) dt} [/mm] konvergiert   [mm] \gdw [/mm] der Grenzwert [mm] \limes_{x \rightarrow\infty}F(x) [/mm] ex. in [mm] \IR \gdw [/mm] der Grenzwert [mm] \limes_{x \rightarrow\infty}G(x) [/mm] ex. in [mm] \IR \gdw \integral_{a}^{\infty}{(-f(t)) dt} [/mm] konvergiert.

In duesem Fall ist

[mm] $\limes_{x \rightarrow\infty}G(x) [/mm] =- [mm] \limes_{x \rightarrow\infty}F(x) [/mm] $

FRED


>  Beweis: Monotoniekriterium, denn das Integral [mm]\int_a^t[/mm] f
> d(x)wächst im Fall f [mm]\ge[/mm] 0 monoton mit t. Und imm Fall f
> [mm]\le[/mm] 0 fällt es monoton mit t.
>  
> Ich hoffe ich hab das nun richtig verstanden auf was du
> hinauswolltest.
>  LG,
>  sissi
>  


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Uneigentliche Integral, Trig,: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:29 Mi 12.08.2015
Autor: HJKweseleit

[mm] |arctan(-e^x)|>|arctan(-e^1)|>1,2, [/mm] falls [mm] x\ge [/mm] 1,
da mit der negativen e-Fkt. die tan-Fkt. monoton fällt (von -1,2... bei x=1 bis auf den Wert [mm] -\pi/2 [/mm] bei [mm] x=\infty). [/mm]
|sin(1/x)|<1 für [mm] x\ge [/mm] 1

Somit: [mm] |\int_1^\infty \frac{arctan(-e^x)}{sin(1/x)}dx| [/mm]  = [mm] \int_1^\infty \frac{|arctan(-e^x)|}{sin(1/x)}dx \ge \int_1^\infty \frac{1,2}{1}dx =\infty [/mm]

Bezug
                
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Uneigentliche Integral, Trig,: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:51 Do 13.08.2015
Autor: sissile

Danke!
LG,
sissi

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