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Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 Mo 25.08.2014
Autor: Mathics

Aufgabe
A,B,C, und D seien beliebige Ereignisse.
A,B,C,D seien unabhängig. Welche Ereignisse sind dann nicht stets unabhängig.

a) A [mm] \cap [/mm] B und B [mm] \cap [/mm] C
b) A und B [mm] \cap [/mm] C
c) A \ D und [mm] \overline{B} [/mm]

Hallo,

ich habe

a) P (A [mm] \cap [/mm] B | B [mm] \cap [/mm] C) = P (A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) / P (B [mm] \cap [/mm] C) = P(A)
Hier also nicht unabhängig!

b) P (A | B [mm] \cap [/mm] C) = P (A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) / P (B [mm] \cap [/mm] C) = P(A)
Hier unabhängig!

c) P (A \ D | [mm] \overline{B}) [/mm] = P (A \ D [mm] \cap \overline{B}) [/mm] / P [mm] (\overline{B}) [/mm] = P(A \ D)
Hier unabhängig!


Ist das wohl so richtig argumentiert?


LG
Mathics

        
Bezug
Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Mo 25.08.2014
Autor: luis52

Moin, du unterstellst bei allen Argumenten, dass die Nenner der bedingten Wahrscheinlichkeiten nicht Null sind. So kannst du das nicht beweisen.

Im ersten Fall ist zu zeigen: $P ((A  [mm] \cap B)\cap( [/mm] B [mm] \cap [/mm]  C))=P (A  [mm] \cap B)\cdot [/mm] P( B [mm] \cap [/mm]  C)$. Dazu musst du ausnutzen, was es bedeutet, dass die Ereignisse $A,B,C,D$ unabhaengig sind. Naemlich was?

Bezug
                
Bezug
Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 Mo 25.08.2014
Autor: Mathics


> Im ersten Fall ist zu zeigen: [mm]P ((A \cap B)\cap( B \cap C))=P (A \cap B)\cdot P( B \cap C)[/mm].
> Dazu musst du ausnutzen, was es bedeutet, dass die
> Ereignisse [mm]A,B,C,D[/mm] unabhaengig sind. Naemlich was?

Das heißt dann P (A  [mm] \cap [/mm]  B [mm] \cap [/mm] C [mm] \cap [/mm] D) = P(A)*P(B)*P(C)*P(D). Aber wie hilft mir das weiter?

Bezug
                        
Bezug
Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Mo 25.08.2014
Autor: luis52


> > Im ersten Fall ist zu zeigen: [mm]P ((A \cap B)\cap( B \cap C))=P (A \cap B)\cdot P( B \cap C)[/mm].
> > Dazu musst du ausnutzen, was es bedeutet, dass die
> > Ereignisse [mm]A,B,C,D[/mm] unabhaengig sind. Naemlich was?
>
> Das heißt dann P (A  [mm]\cap[/mm]  B [mm]\cap[/mm] C [mm]\cap[/mm] D) =
> P(A)*P(B)*P(C)*P(D). Aber wie hilft mir das weiter?

Gar nichts, denn das ist falsch. Unabhaengigkeit bedeutet, dass fuer *jede* Teilmenge von [mm] $\{A,B,C,D\}$ [/mm] obige Formel sinngemaess gilt. Z.B. ist [mm] $P(A\cap C)=P(A)\cdot [/mm] P(C)$ oder [mm] $P(A\cap C\cap D)=P(A)\cdot P(C)\cdot [/mm] P(D)$.


Bezug
                                
Bezug
Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:16 Di 26.08.2014
Autor: Mathics


> > Das heißt dann P (A  [mm]\cap[/mm]  B [mm]\cap[/mm] C [mm]\cap[/mm] D) =
> > P(A)*P(B)*P(C)*P(D). Aber wie hilft mir das weiter?

> Gar nichts, denn das ist falsch. Unabhaengigkeit bedeutet,
> dass fuer *jede* Teilmenge von [mm]\{A,B,C,D\}[/mm] obige Formel
> sinngemaess gilt. Z.B. ist [mm]P(A\cap C)=P(A)\cdot P(C)[/mm] oder
> [mm]P(A\cap C\cap D)=P(A)\cdot P(C)\cdot P(D)[/mm].
>  


Ich bin jetzt etwas verwirrt, denn in unserer Formelsammlung steht wenn A1, A2, A3, A4 unabhängig sind, dann gilt: P(A1 [mm] \cap [/mm] A2 [mm] \cap [/mm] A3 [mm] \cap [/mm] A4) = P(A1)*P(A2)*P(A3)*P(A4)


LG
Mathics

Bezug
                                        
Bezug
Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:28 Di 26.08.2014
Autor: MaslanyFanclub

Hallo,

> > > Das heißt dann P (A  [mm]\cap[/mm]  B [mm]\cap[/mm] C [mm]\cap[/mm] D) =
> > > P(A)*P(B)*P(C)*P(D). Aber wie hilft mir das weiter?
>
> > Gar nichts, denn das ist falsch. Unabhaengigkeit bedeutet,
> > dass fuer *jede* Teilmenge von [mm]\{A,B,C,D\}[/mm] obige Formel
> > sinngemaess gilt. Z.B. ist [mm]P(A\cap C)=P(A)\cdot P(C)[/mm] oder
> > [mm]P(A\cap C\cap D)=P(A)\cdot P(C)\cdot P(D)[/mm].
> >  

>
>
> Ich bin jetzt etwas verwirrt, denn in unserer
> Formelsammlung steht wenn A1, A2, A3, A4 unabhängig sind,
> dann gilt: P(A1 [mm]\cap[/mm] A2 [mm]\cap[/mm] A3 [mm]\cap[/mm] A4) =
> P(A1)*P(A2)*P(A3)*P(A4)
>  

Das steht in keinem Widerspruch zur Definition.
Das was du schreibst ist eine Folgerung (Implikation) oder auch notwendige Bedingung. "wenn, ... dann"
Die Bedingung ist aber nicht hinreichend, sprich der Begriff der Unabhängigkeit einer Menge verlangt noch mehr, nämlich die Def. die luis52 schrieb.

> LG
>  Mathics


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