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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Umkehrfunktion
Umkehrfunktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Umkehrfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 Do 27.03.2014
Autor: rollroll

Hallo!

Also, die ln-Funktion ist ja die Umkehrfkt der e-Fkt. Aber warum erhält man eigentlich die Umkehrfkt durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden? Kann man das beweisen?

        
Bezug
Umkehrfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Do 27.03.2014
Autor: abakus


> Hallo!

>

> Also, die ln-Funktion ist ja die Umkehrfkt der e-Fkt. Aber
> warum erhält man eigentlich die Umkehrfkt durch Spiegelung
> an der 1. Winkelhalbierenden? Kann man das beweisen?

Hallo,
das Bilden der Umkehrfunktion ist doch mit einem Koordinatentausch zwischen x und y verbunden.
Zu jedem Punkt (a|b) auf dem Graphen der Funktion gibt es einen zugehörigen Punkt (b|a) auf dem Graphen der Umkehrfunktion.
Eine Strecke durch (a|b) und (b|a) hat den Anstieg (b-a)/(a-b)=-1 (steht also senkrecht zur 1. Winkelhalbierenden), und der Mittelpunkt dieser Strecke ist [mm] $(\frac{a+b}{2}| \frac{a+b}{2})$ [/mm] und liegt somit auf der 1. Winkelhalbierenden.
Gruß Abakus

Bezug
        
Bezug
Umkehrfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:13 Fr 28.03.2014
Autor: fred97

Sei D eine nichtleere Teilmenge von [mm] \IR [/mm] und f:D [mm] \to \IR [/mm] injektiv.

Dann ex. [mm] f^{-1}:f(D) \to [/mm] D.

Ich schreibe g statt [mm] f^{-1}. [/mm]

Es sei [mm] G_f [/mm] der Graph von f, also

[mm] G_f=\{(u,f(u)): u \in D\} [/mm]

und [mm] G_g [/mm] der Graph von g, also

[mm] G_g=\{(v,g(v)): v \in f(D)\} [/mm]

Die Spiegelung [mm] \phi:\IR^2 \to \IR^2 [/mm] an der ersten Winkelhalbierenden ist gegeben durch

    [mm] \phi(x,y)=(y,x). [/mm]

Klar dürfte sein, dass [mm] \phi [/mm] linear und bijektiv ist und dass gilt:

    [mm] \phi^{-1}=\phi. [/mm]

Zu zeigen ist:  [mm] \phi(G_f)=G_g. [/mm]

Nun sei (v,g(v)) [mm] \in G_g. [/mm] Wir setzen u:=g(v). Dann ist u [mm] \in [/mm] D und f(u)=v, also

     [mm] \phi(v,g(v))=(g(v),v)=(u,f(u)) \in G_f. [/mm]

D.h.:  

      [mm] \phi((G_g) \subseteq G_f. [/mm]

Genauso zeigt man

       [mm] \phi((G_f) \subseteq G_g. [/mm]

Es folgt

      [mm] G_g=\phi^{-1}(\phi(G_g)) \subseteq \phi^{-1}(G_f)= \phi(G_f) \subseteq G_g. [/mm]


Fazit:

     [mm] G_g= \phi(G_f) [/mm] .

FRED




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