matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenTopologie und GeometrieTopologie
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Topologie und Geometrie" - Topologie
Topologie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Topologie: Seperabilität
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:25 Mi 04.11.2015
Autor: Hias

Aufgabe
Zu zeigen: für [mm] $1\leq [/mm] p [mm] \leq \infty$, $l_p(I,K)$ [/mm] ist seperabel, genau dann wenn I abzählbar ist und [mm] $l_\infty(I,K)$ [/mm] ist seperabel, genau dann wenn I endlich ist.



Hallo,
der [mm] $l_p(I,K)$, [/mm] bzw. [mm] $l_\infty(I,K)$ [/mm]  ist wie folgt definiert:
[mm] $l_p(I,K)=\{f:I\to K: ||f||_p<\infty\}$ [/mm]
[mm] $l_\infty(I,K)=\{f:I\to K:||f||_\infty = sup_{x\in I } |f(x)|<\infty\}$ [/mm]
wobei [mm] $K\in \{\IR,\IC\}$ [/mm]
In der Vorlesung hatten wir folgendes Lemma, was ich wohl nutzen muss, aber nicht weis wie:
Lemma: ein normierter Raum $ [mm] (X,||\cdot [/mm] ||)$ ist seperabel, genau dann wenn es eine abzählbare Menge S von X gibt, so dass [mm] $X=\overline{span(S)}$ [/mm] gilt.
In unserem Fall ist [mm] $X=l_p(I,K)$, [/mm] bzw. [mm] $l_\infty(I,K)$. [/mm] Aus der Vorlesung weis ich, dass das ein normierter Raum ist und ein Banach Raum.
Ich habe leider keinen Ansatz ein geeignetes S zu finden, oder anderweitig auf die Lösung zu kommen, sodass ich leider keinen Ansatz von mir geben kann.
Für Tipps wäre ich dankbar.
Hias

        
Bezug
Topologie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:57 Do 05.11.2015
Autor: Ladon

Hallo,

vielleicht kennst du den []Schwartz-Raum [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] der unendlich oft differenzierbaren Funktionen $f$ mit [mm] $\sup_{x\in\IR^n}\left|x^\alpha D^\beta f(x)\right|<\infty$ $\forall \alpha,\beta\in\IN_0^n$. [/mm]
[mm] $\mathcal{S}$ [/mm] liegt dicht in [mm] $L_p$ [/mm] und ist separabel. Mit [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] besitzt nun auch [mm] $L_p$ [/mm] eine abzählbare Basis.

Einen weiteren Beweis findest du in Werners Funktionalanalysis, S. 33.

LG
Ladon

PS: Ich schreibe lieber [mm] $L_p$ [/mm] statt [mm] $l_p$. [/mm] Letzteres beschreibt für mich einen Folgenraum!

Bezug
        
Bezug
Topologie: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Fr 06.11.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]