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Taylorentwicklung Kugelkoordin: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:27 Mo 14.05.2012
Autor: Basser92

Aufgabe
a) Berechnen Sie die Gradienten der Funktion [mm] p(\vec{r})=|\vec{r}|^{n}, [/mm] wobei [mm] |\vec{r}|=\wurzel{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}} [/mm] und n eine natürliche Zahl ist.
b) Berechnen Sie [mm] \gradient f(|\vec{r}|) [/mm] mit Hilfe von a) unter der Annahme, dass sich f(r) in eine Taylor-Reihe entwickeln lässt. Vergleichen Sie das Ergebnis mit [mm] \gradient f(|\vec{r}|), [/mm] wie Sie es mit Hilfe des Gradienten in Kugelkoordinaten erhalten.
c) Betrachten Sie die Funktion [mm] \phi(\vec{r})=\bruch{1}{|\vec{r}-\vec{a}|}=\bruch{1}{\wurzel{(r_{1}-a_{1})^{2}+(r_{2}-a_{2})^{2}+\ldots}} [/mm] mit dem festen Vektor [mm] \vec{a}. [/mm] Berechnen Sie die Taylor-Entwicklung von [mm] \phi(\vec{r}) [/mm] um den Punkt [mm] \vec{0} [/mm] herum bis zur 2. Ordnung einschließlich. Sie können für die Richtung annehmen, dass [mm] \vec{r}=(r_{1},r_{2}) [/mm] und [mm] \vec{a}=(a_{1},a_{2}) [/mm] zweidimensionale Vektoren sind. Das Ergebnis ist aber auch in höheren Dimensionen richtig.


Ich muss ein Übungsblatt machen, bei dem ich keine Ahnung hab, was ich machen soll... Ich sitze schon seit ein paar Tagen an dem Blatt und überleg, was ich da genau rechnen soll, aber das ist mir ein bisschen zu theoretisch... Für die anderen beiden Aufgaben mach ich auch noch Themen auf. Wäre nett, wenn mir da jemand helfen könnte.

        
Bezug
Taylorentwicklung Kugelkoordin: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Mo 14.05.2012
Autor: notinX

Hallo,

> a) Berechnen Sie die Gradienten der Funktion
> [mm]p(\vec{r})=|\vec{r}|^{n},[/mm] wobei
> [mm]|\vec{r}|=\wurzel{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}}[/mm] und n eine
> natürliche Zahl ist.
>  b) Berechnen Sie [mm]\gradient f(|\vec{r}|)[/mm] mit Hilfe von a)
> unter der Annahme, dass sich f(r) in eine Taylor-Reihe
> entwickeln lässt. Vergleichen Sie das Ergebnis mit
> [mm]\gradient f(|\vec{r}|),[/mm] wie Sie es mit Hilfe des Gradienten
> in Kugelkoordinaten erhalten.
>  c) Betrachten Sie die Funktion
> [mm]\phi(\vec{r})=\bruch{1}{|\vec{r}-\vec{a}|}=\bruch{1}{\wurzel{(r_{1}-a_{1})^{2}+(r_{2}-a_{2})^{2}+\ldots}}[/mm]
> mit dem festen Vektor [mm]\vec{a}.[/mm] Berechnen Sie die
> Taylor-Entwicklung von [mm]\phi(\vec{r})[/mm] um den Punkt [mm]\vec{0}[/mm]
> herum bis zur 2. Ordnung einschließlich. Sie können für
> die Richtung annehmen, dass [mm]\vec{r}=(r_{1},r_{2})[/mm] und
> [mm]\vec{a}=(a_{1},a_{2})[/mm] zweidimensionale Vektoren sind. Das
> Ergebnis ist aber auch in höheren Dimensionen richtig.
>  
> Ich muss ein Übungsblatt machen, bei dem ich keine Ahnung
> hab, was ich machen soll... Ich sitze schon seit ein paar
> Tagen an dem Blatt und überleg, was ich da genau rechnen
> soll, aber das ist mir ein bisschen zu theoretisch... Für

da steht doch genau, was zu tun ist, bei a): "Berechnen Sie die Gradienten"
Was ein Gradient ist steht []hier und sicher auch im Skript. Jetzt kannst Du das Hirn ausschalten und musst nur noch stur ausrechnen, was da steht.

> die anderen beiden Aufgaben mach ich auch noch Themen auf.
> Wäre nett, wenn mir da jemand helfen könnte.

Falls Du mit Hilfe eine Lösung meinst, muss ich Dich enttäuschen. Ansonsten stell konkrete Fragen.

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Taylorentwicklung Kugelkoordin: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:56 Mo 14.05.2012
Autor: Basser92

Ich merk grad, wie blöd ich eigentlich war... Ich war beim Gradienten so auf x,y,z fixiert, dass ich ganz vergessen hab, dass y und z auch als [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3}, [/mm] oder in diesem Fall r, geschrieben werden...

Bezug
                        
Bezug
Taylorentwicklung Kugelkoordin: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:00 Mo 14.05.2012
Autor: notinX


> Ich merk grad, wie blöd ich eigentlich war... Ich war beim
> Gradienten so auf x,y,z fixiert, dass ich ganz vergessen
> hab, dass y und z auch als [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{3},[/mm] oder in diesem
> Fall r, geschrieben werden...

Das hat nichts mit Blödheit zu tun. Nenne es lieber 'mangelnde Erfahrung' ;-) (Das ist jetzt nicht als Euphemismus für Blödheit gemeint)

Gruß,

notinX

Bezug
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