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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Taylor Polynom, Restglied
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Taylor Polynom, Restglied: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Mi 30.07.2014
Autor: rollroll

Aufgabe
Entwickle die Funktion [mm] f:IR^2-->IR, f(x,y)=xe^{x-y} [/mm] im Punkt (0,0) nach der Taylor-Formel bis zur zweiten Ordnung und gib das Restglied 3. Ordnung explizit an.

Hallo,

ich habe:

[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (0,0)=1
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] (0,0)=0
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2} [/mm] (0,0)=2
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y^2} [/mm] (0,0)=0
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y} [/mm] (0,0)=-1

Und damit [mm] T(x,y)=x^2-xy+x [/mm] als Taylor-Polynom

Für das Restglied erhalte ich 1/3 [mm] exp(\theta(x-y)) [/mm]

        
Bezug
Taylor Polynom, Restglied: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 Mi 30.07.2014
Autor: MathePower

Hallo rollroll,

> Entwickle die Funktion [mm]f:IR^2-->IR, f(x,y)=xe^{x-y}[/mm] im
> Punkt (0,0) nach der Taylor-Formel bis zur zweiten Ordnung
> und gib das Restglied 3. Ordnung explizit an.
>  Hallo,
>  
> ich habe:
>  
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (0,0)=1
>  [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (0,0)=0
>  [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}[/mm] (0,0)=2
>  [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}[/mm] (0,0)=0
>  [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/mm] (0,0)=-1
>  
> Und damit [mm]T(x,y)=x^2-xy+x[/mm] als Taylor-Polynom
>  


[ok]


> Für das Restglied erhalte ich 1/3 [mm]exp(\theta(x-y))[/mm]  


Wie kommst Du darauf?


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Taylor Polynom, Restglied: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Mi 30.07.2014
Autor: rollroll

[mm] \bruch{\partial^3 f}{\partial x^3} [/mm] (x,y)=exp(x-y)(3+x)
[mm] \bruch{\partial^3 f}{\partial y^3} [/mm] (x,y)=-xexp(x-y)
[mm] \bruch{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2} [/mm] (x,y)=exp(x-y)(1+x)
[mm] \bruch{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y} [/mm] (x,y)=-exp(x-y)(2+x)

Das eingesetzt und zusammengefasst. (wobei (0,0)+ [mm] \theta [/mm] ((x,y)-(0,0)) = [mm] \theta(x,y) [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Taylor Polynom, Restglied: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 Mi 30.07.2014
Autor: MathePower

Hallo rollroll,

>  [mm]\bruch{\partial^3 f}{\partial x^3}[/mm] (x,y)=exp(x-y)(3+x)
> [mm]\bruch{\partial^3 f}{\partial y^3}[/mm] (x,y)=-xexp(x-y)
>   [mm]\bruch{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2}[/mm]
> (x,y)=exp(x-y)(1+x)
> [mm]\bruch{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y}[/mm]
> (x,y)=-exp(x-y)(2+x)
>


[ok]


> Das eingesetzt und zusammengefasst. (wobei (0,0)+ [mm]\theta[/mm]
> ((x,y)-(0,0)) = [mm]\theta(x,y)[/mm]  


Eingesetzt? In welche Formel?

Etwa in eine von []diesen hier?


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Taylor Polynom, Restglied: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Mi 30.07.2014
Autor: rollroll

Ja, in die gewöhnliche Restglied-Formel

Bezug
                                        
Bezug
Taylor Polynom, Restglied: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Mi 30.07.2014
Autor: MathePower

Hallo rollroll,

> Ja, in die gewöhnliche Restglied-Formel


Ok, dann mag das Restglied stimmen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Taylor Polynom, Restglied: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 Mi 30.07.2014
Autor: rollroll

Das hört sich so skeptisch an, bist du anderer Meinung?

Bezug
                                                        
Bezug
Taylor Polynom, Restglied: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 Mi 30.07.2014
Autor: MathePower

Hallo rollroll,

> Das hört sich so skeptisch an, bist du anderer Meinung?


Ich kann das Zustande kommen des Restgliedes nicht nachvollziehen.

Poste doch die Rechenschritte dazu.


Gruss
MathePower



Bezug
                                                                
Bezug
Taylor Polynom, Restglied: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Mi 30.07.2014
Autor: rollroll

Also:

1/6 exp( [mm] \theta [/mm] x - [mm] \theta [/mm] y) (3+ [mm] \theta [/mm] x) - 1/6 [mm] \theta [/mm] x exp( [mm] \theta [/mm] x- [mm] \theta [/mm] y) +1/6 exp( [mm] \theta [/mm] x - [mm] \theta [/mm] y) [mm] (\theta [/mm] x+1) -1/6 exp( [mm] \theta [/mm] x - [mm] \theta [/mm] y) [mm] (\theta [/mm] x +2) = 1/3 exp( [mm] \theta [/mm] x - [mm] \theta [/mm] y)

Bezug
                                                                        
Bezug
Taylor Polynom, Restglied: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Mi 30.07.2014
Autor: MathePower

Hallo rollroll,

> Also:
>  
> 1/6 exp( [mm]\theta[/mm] x - [mm]\theta[/mm] y) (3+ [mm]\theta[/mm] x) - 1/6 [mm]\theta[/mm] x
> exp( [mm]\theta[/mm] x- [mm]\theta[/mm] y) +1/6 exp( [mm]\theta[/mm] x - [mm]\theta[/mm] y)
> [mm](\theta[/mm] x+1) -1/6 exp( [mm]\theta[/mm] x - [mm]\theta[/mm] y) [mm](\theta[/mm] x +2) =
> 1/3 exp( [mm]\theta[/mm] x - [mm]\theta[/mm] y)


Muss der Faktor vor den letzten zwei Summanden nich [mm]\bruch{1}{2}[/mm] lauten?


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Taylor Polynom, Restglied: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 Mi 30.07.2014
Autor: rollroll

Nicht das ich wüsste, ich hätte gehofft, dass du das weißt.

Bezug
                                                                                        
Bezug
Taylor Polynom, Restglied: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Mi 30.07.2014
Autor: MathePower

Hallo rollroll,

> Nicht das ich wüsste, ich hätte gehofft, dass du das
> weißt.


Bei Anwendung dieser []Restgliedformel
ist [mm]\alpha[/mm] ein Multiindice, d.h.

[mm]\alpha!=r! *\left(\alpha-r\right)!, \ 0 \le r \le \alpha[/mm]

,wobei [mm]\alpha[/mm] angibt, wie oft partiell abgeleitet wird,

und r wie oft dabei nach x abgeleitet wird.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
Bezug
Taylor Polynom, Restglied: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:31 Mi 30.07.2014
Autor: rollroll

Ach ja stimmt, danke!

Bezug
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