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Tangente: unklare Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 Mo 27.11.2017
Autor: photonendusche

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=x-\bruch{1}{x}. [/mm]
Bestimme die Tangente, die durch P(0/1) geht.
Kontrollergebnis : [mm] t(x)=\bruch{5}{4}x-1 [/mm]


die Funktion ist ja bei 0 nicht definert.
und die Kontrolllösung sagt ja aus, dass die Tangente durch (0/-1) und nicht durch (0/1)

        
Bezug
Tangente: Korrekte Aufgabenstellung?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:00 Mo 27.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=x-\bruch{1}{x}.[/mm]
> Bestimme die Tangente, die durch [mm]P(0\1)[/mm] geht.

Was ist P(0), das ist nirgends gesagt?

> Kontrollergebnis : [mm]t(x)=\bruch{5}{4}x-1[/mm]
> die Funktion ist ja bei 0 nicht definert.

Die Tangente, die du angibst, berührt das Schaubild von f an der Stelle x=2. Du solltest also die Aufgabenstellung klären, denn dieses P muss ja irgendwo herkommen...


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Tangente: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:04 Mo 27.11.2017
Autor: photonendusche

P(0/1) soll der Punkt sein, durch den Tangente verläuft

Bezug
                        
Bezug
Tangente: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:06 Mo 27.11.2017
Autor: fred97


> P(0/1) soll der Punkt sein, durch den Tangente verläuft

Obige Funktion f ist in x=0 nicht definiert. Daher gilt (0|1) [mm] \notin [/mm] Graph(f).

damit ist die Aufgabenstellung völlig sinnlos !


Bezug
                                
Bezug
Tangente: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:39 Mo 27.11.2017
Autor: Diophant

Hallo Fred,

> > P(0/1) soll der Punkt sein, durch den Tangente verläuft

>

> Obige Funktion f ist in x=0 nicht definiert. Daher gilt
> (0|1) [mm]\notin[/mm] Graph(f).

>

> damit ist die Aufgabenstellung völlig sinnlos !

Einspruch: es ist ja nirgends gesagt, dass der Punkt P der Berührpunkt ist.


Gruß, Diophant

Bezug
                                        
Bezug
Tangente: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:42 Mo 27.11.2017
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> > > P(0/1) soll der Punkt sein, durch den Tangente verläuft
>  >
>  > Obige Funktion f ist in x=0 nicht definiert. Daher gilt

>  > (0|1) [mm]\notin[/mm] Graph(f).

>  >
>  > damit ist die Aufgabenstellung völlig sinnlos !

>  
> Einspruch: es ist ja nirgends gesagt, dass der Punkt P der
> Berührpunkt ist.
>  
>
> Gruß, Diophant

hallo Diophant,

Du hast recht, ich habs nicht genau gelesen.


Bezug
        
Bezug
Tangente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:38 Mo 27.11.2017
Autor: Diophant

Hallo nochmals,

jetzt ist es klar, das Problem war die fehlende y-Koordinate von P.

> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=x-\bruch{1}{x}.[/mm]
> Bestimme die Tangente, die durch [mm]P(0\1)[/mm] geht.

Du suchst die Gleichung einer Geraden, die zwei Kriterien genügt:

- sie ist Tangente an das Schaubild von f.
- sie enthält den Punkt P(0|-1).

> Kontrollergebnis : [mm]t(x)=\bruch{5}{4}x-1[/mm]
> die Funktion ist ja bei 0 nicht definert.
> und die Kontrolllösung sagt ja aus, dass die Tangente
> durch (0/-1) und nicht durch (0/1)

Also das musst du selbst klären (vielleicht ein Fehler in der Musterlösung?). Wegen der Punktsymmetrie der vorgelegten Funktion gibt es jedenfalls eine weitere Tangente mit der Gleichung

[mm] \overline{t}= \frac{5}{4}x+1[/mm]

welche dann natürlich durch den Punkt Q(0|1) geht (und das Schaubild bei x=-2 berührt).

Man berechnet das mit der allg. Tangentengleichung

[mm]t:\ y=f'(u)*(x-u)+f(u)[/mm]

(falls dies auch Teil deiner Frage war).


Gruß, Diophant

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Tangente: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Mo 27.11.2017
Autor: photonendusche

Mir ist immer noch unklar, wie man auf den Anstieg von [mm] \bruch{5}{4} [/mm] kommt

Bezug
                        
Bezug
Tangente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Mo 27.11.2017
Autor: M.Rex

Hallo.

Gehen wir das ganze mal schrittweise durch.

Du suchst eine Gerade der Form g(x)=mx+n, die zwei Bedingungen erfüllt.
- Sie geht durch P(0|-1)
- Sie ist (an einem noch zu bestimmenden Berührpunkt [mm] B(x_b|f(x_b)) [/mm] Tangente an [mm] f(x)=x-\frac{1}{x} [/mm]


Jetzt hast du in sofern Glöück, dass n=-1 ist, denn da P auf g lbeiogt, folgt aus g(0)=-1 direkt [mm] m\cdot0+n=-1 [/mm] und das führt zu n=-1

Das führt zu g(x)=mx-1

Nun gibt es einen (noch unbekannten) Berührpunkt, an dem gilt [mm] f'(x_b)=g'(x_{b}) [/mm] denn die Steigungen sind ja am Berührpunkt gleich.
Da [mm] f'(x)=1+\frac{1}{x^{2}} [/mm] ist und g'(x)=m, gilt am Berührpunkt
[mm] m=1+\frac{1}{x_{b}^{2}} [/mm]

Damit kannst du g(x) schon als [mm] $g(x)=\underbrace{\left(1+\frac{1}{x_{b}^{2}}\right)}_{m}\cdot [/mm] x-1$ schreiben.

Nun musst du noch den Berührpunkt herausfinden, an dem auch gilt [mm] f(x_{b})=g(x_{b}) [/mm]

Das führt zu
[mm] \left(1+\frac{1}{x_{b}^{2}}\right)\cdot x_{b}-1=x_{b}-\frac{1}{x_{b}} [/mm]

Bestimme aus dieser Gleichung nun [mm] x_{b} [/mm] und dann über [mm] m=m=1+\frac{1}{x_{b}^{2}} [/mm] dann die Steigung m der Tangente.

Marius

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