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Forum "Nichtlineare Gleichungen" - Superlinear, Konvergenzordnung
Superlinear, Konvergenzordnung < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Superlinear, Konvergenzordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Do 31.12.2015
Autor: sissile

Aufgabe
Zu unserer Definition:
Sei [mm] \{\epsilon_k\}_{k\in \mathbb{N}} [/mm] eine reelle nicht negative Nullfolge.
Wir definieren K:= [mm] \lim_{k\rightarrow \infty} [/mm] sup [mm] \epsilon_k^{\frac{1}{k}} [/mm]
Die Folge heißt i) sublinear falls K=1
ii) linear falls 0<K<1
iii) superlinear falls K=0
Falls im superlinearen Fall zudem [mm] \epsilon_{k+1} \le [/mm] c [mm] \epsilon_{k}^p [/mm] für ein p>1, c>0 für fast alle k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] dann hat die Folge Konvergenzordnung p.

Frage:
Sei [mm] \{\epsilon_k\} [/mm] eine Nullfolge, die [mm] \epsilon_{k+1} \le [/mm] c [mm] \epsilon_{k}^p [/mm] für ein p>1, c>0 für fast alle k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] erfüllt.
Im Skript steht, dann ist offensichtlich die Folge [mm] \{\epsilon_k\}_{k \in \mathbb{N}} [/mm] superlinear.
Aber warum?



Hallo
ZZ.: [mm] lim_{k\rightarrow \infty} [/mm] sup [mm] \epsilon_k^{\frac{1}{k}}=0 [/mm]

[mm] \exists k_0: 0\le\epsilon_k [/mm] < 1 [mm] \forall [/mm] k [mm] \ge k_0 [/mm]
[mm] \epsilon_k \le \epsilon_k^{\frac{1}{k}} \le [/mm] (c [mm] \epsilon_{k-1})^{p/k} [/mm] = exp(log( C [mm] \epsilon_{k-1})*\frac{p}{k})=e^{log(c)\frac{p}{k}} [/mm] * [mm] e^{log(\epsilon_{k-1})\frac{p}{k}} [/mm]
Die linke Seite geht gegen 0 aber die rechte Abschätzung -denke ich- passt noch nicht.

Im Internet finde ich überall nur verschiedene Definitionen dieser Begriffe.


LG

        
Bezug
Superlinear, Konvergenzordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Fr 01.01.2016
Autor: fred97

Edit: da stand Unsinn

Ein gutes neues Jahr wünscht

FRED

Bezug
                
Bezug
Superlinear, Konvergenzordnung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:40 Fr 01.01.2016
Autor: sissile

Hallo,
Danke für deinen Post. Ich kann deine Schritte nachvollziehen.

> Damit ist die Reihe $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}x_k [/mm] $ konvergent und folglich $ [mm] (x_k) [/mm] $ eine Nullfolge.

Es ist aber doch zuzeigen [mm] \lim \sup \epsilon_k^{\frac{1}{k}}=0, [/mm] dass [mm] \{\epsilon_k\}_{k \in \mathbb{N}} [/mm] eine Nullfolge ist hab ich doch gegeben und das verwendest du doch auch im dem Schritt:

> p-1 >0 haben wir dann

>   $ [mm] \bruch{x_{k+1}}{x_k} \to [/mm] $ 0 für k $ [mm] \to \infty. [/mm] $

Hab ich da gerade einen Denkfehler oder passt da etwas nicht?

LG,
sissi

Bezug
                        
Bezug
Superlinear, Konvergenzordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:54 Fr 01.01.2016
Autor: fred97


> Hallo,
>  Danke für deinen Post. Ich kann deine Schritte
> nachvollziehen.
>  
> > Damit ist die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}x_k[/mm] konvergent und
> folglich [mm](x_k)[/mm] eine Nullfolge.
> Es ist aber doch zuzeigen [mm]\lim \sup \epsilon_k^{\frac{1}{k}}=0,[/mm]
> dass [mm]\{\epsilon_k\}_{k \in \mathbb{N}}[/mm] eine Nullfolge ist
> hab ich doch gegeben und das verwendest du doch auch im dem
> Schritt:
>  > p-1 >0 haben wir dann

>  
> >   [mm]\bruch{x_{k+1}}{x_k} \to[/mm] 0 für k [mm]\to \infty.[/mm]

>  
> Hab ich da gerade einen Denkfehler oder passt da etwas
> nicht?

Ja, meine obige Antwort War Unfug.

Fred

>  
> LG,
>  sissi


Bezug
                                
Bezug
Superlinear, Konvergenzordnung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:52 Fr 01.01.2016
Autor: sissile

Hallo Fred,
Kannt man es aber vlt. retten bzw weiterführen:

Du zeigt [mm] \frac{\epsilon_{k+1}}{\epsilon_k} \rightarrow [/mm] 0 für k [mm] \rightarrow \infty. [/mm]
[mm] \forall [/mm] E>0: [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \mathbb{N}: [/mm] | [mm] \frac{\epsilon_{k+1}}{\epsilon_k}| [/mm] < E [mm] \forall [/mm] k [mm] \ge [/mm] N
| [mm] \frac{\epsilon_{N+1}}{\epsilon_N}|*| \frac{\epsilon_{N+2}}{\epsilon_{N+1}}|*...*| \frac{\epsilon_{n}}{\epsilon_{n-1}}|< E^{n-N} [/mm]
| [mm] \frac{\epsilon_{n}}{\epsilon_N}|< (E)^{n-N} [/mm]
[mm] \wurzel[n]{|\epsilon_n|} [/mm] < [mm] \wurzel[n]{|\epsilon_N|}* (E)^{1-\frac{N}{n}} [/mm]

Daraus folgt:
0 [mm] \le \limsup_{n\rightarrow \infty} \epsilon_n^{\frac{1}{n}} [/mm] < [mm] (E)^{1} [/mm]

Da E beliebig gewählt werden kann ist es denke ich gelöst?
Oder übersehe ich etwas?

LG,
sissi

Bezug
                                        
Bezug
Superlinear, Konvergenzordnung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 So 03.01.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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