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Forum "Zahlentheorie" - Summe irrationaler Zahlen
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Summe irrationaler Zahlen: Ist mein Beweis falsch?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:48 Do 24.11.2016
Autor: asg

Aufgabe
Seien $a, b, c [mm] \in \IR \setminus \IQ$. [/mm] Zeigen Sie:
$(a + b) [mm] \lor [/mm] (b + c) [mm] \lor [/mm] (c + a)$ ist irrational.

Hallo zusammen,

hier ist mein Beweis durch Widerspruch:

Angenommen $a+b, b+c, c+a [mm] \in \IQ \Rightarrow [/mm] a+b = [mm] \frac{p}{q}, [/mm] b+c = [mm] \frac{r}{s}, [/mm] c+a = [mm] \frac{t}{u}$ [/mm] mit $p,r,t [mm] \in \IZ$ [/mm] und $q, s, u [mm] \in \IZ \setminus \{0\}$ [/mm]

$(b+c) - (c+a) = b-c$

Da $a+b, c+a [mm] \in \IQ$ [/mm] angenommen, gilt $b-c [mm] \in \IQ$, [/mm] denn die Summe zweier rationaler Zahlen ist wieder eine rationale Zahl.

Sei $b-c = [mm] \frac{v}{w}$ [/mm] mit $v [mm] \in \IZ, [/mm] w [mm] \in \IZ \setminus \{0\}$ [/mm]

$b = [mm] \frac{(b+c)+(b-c)}{2} [/mm] = [mm] \frac{\frac{r}{s}+\frac{v}{w}}{2}=\frac{\frac{w*r + s*v}{s*w}}{2} [/mm] = [mm] \frac{w*r+s*v}{2*s*w}$ [/mm]

Da $w*r+s*v [mm] \in \IZ, [/mm] 2*s*w [mm] \in \IZ \setminus \{0\} \Rightarrow \frac{w*r+s*v}{2*s*w} \in \IQ \Rightarrow [/mm] b [mm] \in \IQ$ [/mm] Das ist ein Widerspruch.
Denn nach Voraussetzung gilt $b [mm] \in \IR \setminus \IQ$ [/mm]

$c = [mm] \frac{(b+c)-(b-c)}{2} [/mm] = [mm] \frac{\frac{r}{s}-\frac{v}{w}}{2}=\frac{\frac{w*r - s*v}{s*w}}{2} [/mm] = [mm] \frac{w*r-s*v}{2*s*w}$ [/mm]

Da $w*r-s*v [mm] \in \IZ, [/mm] 2*s*w [mm] \in \IZ \setminus \{0\} \Rightarrow \frac{w*r-s*v}{2*s*w} \in \IQ \Rightarrow [/mm] c [mm] \in \IQ$ [/mm] Das ist ein Widerspruch.
Denn nach Voraussetzung gilt $c [mm] \in \IR \setminus \IQ$ [/mm]

Also muss $b+c$ oder $b-c$ irrational sein.
Da $b-c = (a+b)-(c+a)$, muss $a+b$ oder $c+a$ irrational sein, falls $b+c$ rational ist, denn dann wäre $b-c$ irrational.
q.e.d.

Kann mir bitte jemand meine Fehler im Beweis aufzeigen?

Dankeschön für jede Hilfe.

Liebe Grüße

Asg


        
Bezug
Summe irrationaler Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:22 Do 24.11.2016
Autor: sinnlos123


Bezug
        
Bezug
Summe irrationaler Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:20 Do 24.11.2016
Autor: fred97


> Seien [mm]a, b, c \in \IR \setminus \IQ[/mm]. Zeigen Sie:
>  [mm](a + b) \lor (b + c) \lor (c + a)[/mm] ist irrational.
>  Hallo zusammen,
>  
> hier ist mein Beweis durch Widerspruch:
>  
> Angenommen [mm]a+b, b+c, c+a \in \IQ \Rightarrow a+b = \frac{p}{q}, b+c = \frac{r}{s}, c+a = \frac{t}{u}[/mm]
> mit [mm]p,r,t \in \IZ[/mm] und [mm]q, s, u \in \IZ \setminus \{0\}[/mm]
>  
> [mm](b+c) - (c+a) = b-c[/mm]

Das stimmt aber nicht ! Es ist

[mm](b+c) - (c+a) = b-a[/mm]

Jetzt haben wir: $a+b, b-a [mm] \in \IQ$. [/mm] Damit auch

  $2b=a+b+(b-a) [mm] \in \IQ$, [/mm] also $b [mm] \in \IQ$, [/mm] Wid !


FRED


>  
> Da [mm]a+b, c+a \in \IQ[/mm] angenommen, gilt [mm]b-c \in \IQ[/mm], denn die
> Summe zweier rationaler Zahlen ist wieder eine rationale
> Zahl.
>  
> Sei [mm]b-c = \frac{v}{w}[/mm] mit [mm]v \in \IZ, w \in \IZ \setminus \{0\}[/mm]
>  
> [mm]b = \frac{(b+c)+(b-c)}{2} = \frac{\frac{r}{s}+\frac{v}{w}}{2}=\frac{\frac{w*r + s*v}{s*w}}{2} = \frac{w*r+s*v}{2*s*w}[/mm]
>  
> Da [mm]w*r+s*v \in \IZ, 2*s*w \in \IZ \setminus \{0\} \Rightarrow \frac{w*r+s*v}{2*s*w} \in \IQ \Rightarrow b \in \IQ[/mm]
> Das ist ein Widerspruch.
>  Denn nach Voraussetzung gilt [mm]b \in \IR \setminus \IQ[/mm]
>  
> [mm]c = \frac{(b+c)-(b-c)}{2} = \frac{\frac{r}{s}-\frac{v}{w}}{2}=\frac{\frac{w*r - s*v}{s*w}}{2} = \frac{w*r-s*v}{2*s*w}[/mm]
>  
> Da [mm]w*r-s*v \in \IZ, 2*s*w \in \IZ \setminus \{0\} \Rightarrow \frac{w*r-s*v}{2*s*w} \in \IQ \Rightarrow c \in \IQ[/mm]
> Das ist ein Widerspruch.
>  Denn nach Voraussetzung gilt [mm]c \in \IR \setminus \IQ[/mm]
>  
> Also muss [mm]b+c[/mm] oder [mm]b-c[/mm] irrational sein.
>  Da [mm]b-c = (a+b)-(c+a)[/mm], muss [mm]a+b[/mm] oder [mm]c+a[/mm] irrational sein,
> falls [mm]b+c[/mm] rational ist, denn dann wäre [mm]b-c[/mm] irrational.
>  q.e.d.
>  
> Kann mir bitte jemand meine Fehler im Beweis aufzeigen?
>  
> Dankeschön für jede Hilfe.
>  
> Liebe Grüße
>  
> Asg
>  


Bezug
                
Bezug
Summe irrationaler Zahlen: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:53 Do 01.12.2016
Autor: asg

Hallo,

Dankeschön für die schnelle Hilfe.

>  >  
> > [mm](b+c) - (c+a) = b-c[/mm]
>  
> Das stimmt aber nicht ! Es ist
>  
> [mm](b+c) - (c+a) = b-a[/mm]
>  

Ja, da habe ich wohl bei der Eingabe nicht aufgepasst. Ich meinte eigentlich:
[mm](a+b) - (c+a) = b-c[/mm]

Viele Grüße

Asg

Bezug
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