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Summe der Stammbrüche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:45 Di 16.12.2014
Autor: M.Rex

Aufgabe
[mm] S_{n} [/mm] ist die Summe der Stammbrüche bis [mm] \frac{1}{n} [/mm]
[mm] S_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{i} [/mm]

Zu zeigen ist nun, dass
[mm] S_{2^k}\ge1+\frac{k}{2} [/mm]
 





Hallo Ihr.

Ich hab bei der Aufgabe echt mal nen ziemlich dickes Brett vor dem Kopf.

In einer Teilaufgabe davor ist schon gezeigt worden, dass
[mm] S_{2^{k}}\ge S_{2^{k-1}}+\frac{1}{2} [/mm]

Das war auch nicht das große Problem.
Wie ich aber von der Aussage [mm] S_{2^{k}}\ge S_{2^{k-1}}+\frac{1}{2} [/mm] auf die zu beweisende Aussage [mm] S_{2^k}\ge1+\frac{k}{2} [/mm] komme, erschliesst sich mir gerade nicht.

Ich hatte auch schon überlegt, [mm] S_{2^{k}}\ge S_{2^{k-1}}+\frac{1}{2} [/mm] mit k zu multiplizieren, aber dann habe ich
[mm] k\cdot S_{2^{k}}\ge k\cdot S_{2^{k-1}}+\frac{k}{2} [/mm]

Damit habe ich zwar die [mm] \frac{k}{2}, [/mm] aber der Rest klappt gerade nicht.

Marius

        
Bezug
Summe der Stammbrüche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:50 Di 16.12.2014
Autor: M.Rex

Hallo Ihr.

Mist, ich sehe gerade, dass es per Induktion hervorragend klappt:


[mm]S_{2^{k+1}}=\sum\limits_{i=1}^{2^{k+1}}\frac{1}{i}[/mm]
Umschreiben
[mm]=\sum\limits_{i=1}^{2^k}\frac{1}{i}+\sum\limits_{i=2^{k}+1}^{2^{k+1}}\frac{1}{i}[/mm]
Ind-Vorauss.
[mm]=1+\frac{k}{2}+\sum\limits_{i=2^{k}+1}^{2^{k+1}}\frac{1}{i}[/mm]
einen Term größer als 0 weglassen
[mm]\ge1+\frac{k}{2}[/mm]

Sollte es tatsächlich so einfach gewesen sein?

Marius

Bezug
                
Bezug
Summe der Stammbrüche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:00 Di 16.12.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

für die Induktion sollte da aber zum Schluß:

[mm] $\ge [/mm] 1 + [mm] \bruch{k+1}{2}$ [/mm] herauskommen ;-)

Zeige also, dass der Term, den du weg lässt, größer gleich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist.

Das ist aber recht trivial.

Gruß,
Gono.

Bezug
                        
Bezug
Summe der Stammbrüche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:02 Di 16.12.2014
Autor: M.Rex

Hallo Gono

Guter Einwand, das muss ich mir nochmal anschauen.

Marius

Bezug
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