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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - SturmLiouville Eigenwertproble
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SturmLiouville Eigenwertproble: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Mo 15.12.2014
Autor: Bushman

Aufgabe
Finden sie alle Eigenwerte der Gleichung: -f''(x) = [mm] \lambda [/mm] f(x) : [mm] x\in(0,\infty) [/mm]
Mit dem Randwert (oder was auch immer das genau ist ^^) f'(0) = [mm] \alpha [/mm] f(0) mit festem [mm] \alpha [/mm] < 0
Zusätzlich soll die Lösungsfunktion / Eigenfunktion [mm] \in L^2(0,\infty) [/mm] sein

Hallo liebes Forum, ich hätte mal wieder ein Problem. Ein Ähnliches wie Sturm Liouville es seinerzeit mal hatten ^^

Das besagte Problem habe ich unter Aufgabenstellung beschrieben.

Mein Ansatz für die Lösungsfunktion ist f(x) = [mm] e^{c*x} [/mm]
mit f'(x) = c* [mm] e^{c*x} [/mm] und f''(x) = [mm] c^2*e^{c*x} [/mm]

Mit dieser seltsamen Randbedingung ergibt das: f'(0) = [mm] \alpha*f(0) [/mm]
c* [mm] e^{c*0} [/mm] =  [mm] \alpha* e^{c*0} [/mm] => c = [mm] \alpha [/mm]

Eingesetzt in die Gleichung ergibt das [mm] e^{\alpha*x}*(\alpha^2+\lambda) [/mm] = 0
Da [mm] e^{\alpha*x} [/mm] keine 0 Stelle besitzt ist die Lösung der Gleichung [mm] \alpha [/mm] = [mm] \pm \wurzel{-\lambda} [/mm] = [mm] \pm [/mm] i * [mm] \wurzel{\lambda} [/mm]
Das führt mich auf die beiden Lösungen f1(x) = [mm] e^{i*\wurzel{\lambda}*x} [/mm] und    f2(x) = [mm] e^{-i*\wurzel{\lambda}*x}. [/mm]
Nach meinen Überlegungen wäre die einzige Möglichkeit eine quadratisch Lebesgue-Integrierbare Lösungsfunktion zu erhalten [mm] \lambda [/mm] = -1 zu setzen.
Dann würde f1(x) = [mm] e^{i^2*x} [/mm] = [mm] e^{-x} [/mm] ergeben. Das Quadrat dieser Funktion ist [mm] e^{-x^2} [/mm] und von dieser Funktion weiß ich, dass sie eine [mm] L^2 [/mm] Funktion ist.

Eine andere Idee wäre die Angabe von [mm] \alpha [/mm] < 0 auszunutzen und [mm] \alpha [/mm] = -a zu setzen. Dann bekomme ich einen Lösungsansatz der Form [mm] e^{-a*x}. [/mm] Diese Lösung ist bestimmt eine [mm] L^2 [/mm] Funktion. Eingesetzt in die Gleichung ergibt das [mm] e^{-a*x}*(a^2+\lambda)=0 [/mm]  =>  [mm] \lambda [/mm] = [mm] -a^2 [/mm] = - [mm] \alpha^2 [/mm]

Meine Frage wäre nun ob irgendetwas von meinen Überlegungen einen Sinn ergibt. Danke ;)

        
Bezug
SturmLiouville Eigenwertproble: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:39 Di 16.12.2014
Autor: andyv

Hallo,

über das Quadrat von [mm] $e^{-x}$ [/mm] solltest du vielleicht noch mal nachdenken.


Jedenfalls kann man ein Fundamentalsystem der DGl leicht angeben:

[mm] $\lambda=0$: [/mm] {1,x}
[mm] $\lambda>0$: $\{\sin \sqrt{\lambda}x,\cos\sqrt{\lambda}x\}$ [/mm]
[mm] $\lambda<0$: $\{\exp(\sqrt{-\lambda}x),\exp(-\sqrt{-\lambda}x)\}$ [/mm]

Wie sieht die allgemeine Lösung in den betrachteten Fällen aus?
Benutze dann [mm] $f'(0)=\alpha [/mm] f(0)$.

Liebe Grüße

Bezug
        
Bezug
SturmLiouville Eigenwertproble: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:36 Di 16.12.2014
Autor: fred97

Vielleicht sollte man mal klar sagen, worum es geht:

setzen wir [mm] $D:=\{f \in C^2([0, \infty)): f'(0)= \alpha*f(0)\}$ [/mm] , (wobei  [mm] $\alpha [/mm] <0$) und definieren den Differentialoperator

   $T:D [mm] \to [/mm]  C([0, [mm] \infty))$ [/mm] durch  $T(f):=-f''$.

Gesucht sind also die Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] und die zugehörigen Eigenfunktionen $f [mm] \in [/mm] D [mm] \setminus\{0\}$ [/mm] von $T$.

Das bedeutet: wir kümmern uns um die Eigenwertaufgabe

  $T(f)= [mm] \lambda*f$ [/mm]







Wir haben also die homogene lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeefizienten

(*)  [mm] $f''+\lambda*f=0$ [/mm]

Gesucht ist also [mm] \lambda [/mm] so, dass (*) eine nichttriviale Lösung $ f [mm] \in [/mm] D$ hat .


Das char. Polynom von (*) lautet so: $ [mm] p(\mu)=\mu^2+\lambda [/mm] $

Sei [mm] \mu [/mm] eine Nullstelle von p. Dann ist [mm] f(x)=c*e^{\mu x} [/mm]  für jedes c eine Lösung von (*). Da wir nichttriviale Lösungen von (*) suchen , können wir von c [mm] \ne [/mm] 0 ausgehen.

Aus  $ f'(0) =  [mm] \alpha [/mm] f(0)$ folgt sofort: [mm] \mu= \alpha. [/mm] Und damit:

   $ [mm] \lambda=-\mu^2= [/mm] - [mm] \alpha^2$. [/mm]

Für dieses [mm] \lambda [/mm] ist also

     [mm] f(x)=c*e^{\alpha x} [/mm]   ($c [mm] \ne [/mm] 0$)

eine nichttriviale Lösung der Eigenwertaufgabe.

Diese Lösungsfunktionen sind $ [mm] \in L^2(0,\infty) [/mm] $, denn

     [mm] $\integral_{0}^{\infty}{e^{2*\alpha x} dx}< \infty$. [/mm]

Überzeuge Dich davon !

FRED

Bezug
                
Bezug
SturmLiouville Eigenwertproble: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:13 Di 16.12.2014
Autor: Bushman

Danke, ich glaube ich habe es jetzt richtig.

Bezug
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