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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Störgliedansatz
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Störgliedansatz: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:37 Fr 24.04.2015
Autor: C11H15NO2

Aufgabe
y´´ + y = 2 cos(x) + x

Homogene:
y´´ + y = 0
Exponentialansatz y = [mm] e^{\lambda x} [/mm] liefert:
[mm] \lambda [/mm] 1,2 = [mm] \pm [/mm] j
Somit Lösung der homogenen:  C1 sin(x) + C2 cos(x)

Störglied g1(x): 2 cos(x) -> [mm] \beta=1 [/mm]    [ wegen [mm] cos(\beta [/mm] x) = cos(1x) ]
Der Lösungsansatz für 2 cos(x) ist:  A sin(x) + B cos(x)

Jedoch muss hier noch ein "x" hinzu multipliziert werden, da [mm] \beta [/mm] eine Lösung der Charakteristischen Gleichung
[mm] \lambda [/mm] 1,2 = [mm] \pm [/mm] j ist.

Das versteh ich nicht so recht.
Ist das so, weil es formell heißt: [mm] \lambda [/mm] 1,2 = [mm] \alpha \pm \beta [/mm] j
[mm] \alpha [/mm] = 0
[mm] \beta [/mm] = 1
???

Den Rest verstehe ich. Nur dieser Punkt ist mir unklar.

Danke im vorraus

        
Bezug
Störgliedansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:49 Fr 24.04.2015
Autor: fred97


> y´´ + y = 2 cos(x) + x
>  Homogene:
>  y´´ + y = 0
>  Exponentialansatz y = [mm]e^{\lambda x}[/mm] liefert:
>  [mm]\lambda[/mm] 1,2 = [mm]\pm[/mm] j
>  Somit Lösung der homogenen:  C1 sin(x) + C2 cos(x)
>  
> Störglied g1(x): 2 cos(x) -> [mm]\beta=1[/mm]    [ wegen [mm]cos(\beta[/mm]
> x) = cos(1x) ]
>  Der Lösungsansatz für 2 cos(x) ist:  A sin(x) + B
> cos(x)
>  
> Jedoch muss hier noch ein "x" hinzu multipliziert werden,
> da [mm]\beta[/mm] eine Lösung der Charakteristischen Gleichung
>   [mm]\lambda[/mm] 1,2 = [mm]\pm[/mm] j ist.
>  
> Das versteh ich nicht so recht.
>  Ist das so, weil es formell heißt: [mm]\lambda[/mm] 1,2 = [mm]\alpha \pm \beta[/mm]
> j
>  [mm]\alpha[/mm] = 0
>  [mm]\beta[/mm] = 1
>  ???
>  
> Den Rest verstehe ich. Nur dieser Punkt ist mir unklar.
>  
> Danke im vorraus


Das zur homogenen Gl $y''+y=0$ gehörende char. Polynom ist

   [mm] p(z)=z^2+1. [/mm]

Wegen [mm] \beta=1 [/mm] ist $j [mm] \beta$ [/mm] eine einfache Nullstelle von p. Daher die Mult. mit x.

FRED

Bezug
                
Bezug
Störgliedansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:04 Fr 24.04.2015
Autor: C11H15NO2

Wäre die homogene Gleichung y'' + 2y' + 4y = 0
lautet die charakteristische GLeichung [mm] z^2 [/mm] + 2z + 4 und [mm] \beta [/mm] somit 4
[ und [mm] \alpha [/mm] = 2] ?

Ok und wenn die beiden [mm] \beta [/mm] übereinstimmen dann mit x multi wegen einer einfacher Nullstelle

lg

Bezug
                        
Bezug
Störgliedansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 Fr 24.04.2015
Autor: fred97


> Wäre die homogene Gleichung y'' + 2y' + 4y = 0
>  lautet die charakteristische GLeichung [mm]z^2[/mm] + 2z + 4 und
> [mm]\beta[/mm] somit 4
>  [ und [mm]\alpha[/mm] = 2] ?


Hä ?  Die Gl. [mm] z^2+2z+4=0 [/mm] hat die Lösungen

    [mm] $z_{1/2}=-1 \pm [/mm] j* [mm] \wurzel{3}$ [/mm]

Also: [mm] $\alpha=-1$ [/mm] und [mm] $\beta= \pm [/mm] j* [mm] \wurzel{3}$ [/mm]



>  
> Ok und wenn die beiden [mm]\beta[/mm] übereinstimmen dann mit x
> multi wegen einer einfacher Nullstelle

?????? Was meinst Du denn damit ?

FRED

>  
> lg


Bezug
                                
Bezug
Störgliedansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:16 Fr 24.04.2015
Autor: C11H15NO2

Ok dann hab ichs falsch verstanden...

Ich denke, man muss bei der Aufgabe die [mm] \beta [/mm] vergleichen.
Das erste [mm] \beta [/mm] ist aus der Lösung von [mm] \lambda [/mm]
In dieser Aufgabe [mm] \lambda [/mm] 1,2 = [mm] \alpha \pm \beta [/mm] j  -> [mm] \beta [/mm] = 1

Das zweite [mm] \beta [/mm] entnehme ich dem Störglied 2 [mm] cos(\beta [/mm] x) -> [mm] \beta [/mm] = 1

Da diese beiden [mm] \beta [/mm] übereinstimmen multipliziere ich ein "x" dazu

Ist das richtig?

Bezug
                                        
Bezug
Störgliedansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Fr 24.04.2015
Autor: fred97


> Ok dann hab ichs falsch verstanden...
>  
> Ich denke, man muss bei der Aufgabe die [mm]\beta[/mm] vergleichen.

Hä ???


>  Das erste [mm]\beta[/mm] ist aus der Lösung von [mm]\lambda[/mm]
>  In dieser Aufgabe [mm]\lambda[/mm] 1,2 = [mm]\alpha \pm \beta[/mm] j  ->

> [mm]\beta[/mm] = 1
>  
> Das zweite [mm]\beta[/mm] entnehme ich dem Störglied 2 [mm]cos(\beta[/mm] x)
> -> [mm]\beta[/mm] = 1
>  
> Da diese beiden [mm]\beta[/mm] übereinstimmen multipliziere ich ein
> "x" dazu
>  
> Ist das richtig?

Nein.

Zieh Dir das

[mm] http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html [/mm]

mal in aller Ruhe rein.

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Störgliedansatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:21 Sa 25.04.2015
Autor: C11H15NO2

Ah okay. Jetzt hab ichs

Danke
Gruß

Bezug
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