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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Satz von Green
Satz von Green < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Satz von Green: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Sa 28.11.2015
Autor: Rebellismus

Aufgabe
Gegeben sei das Vektorfeld v

[mm] v(x,y)=\vektor{\bruch{x^2}{y} \\ xy} [/mm]

und eine fläche, die durch diese Kurven berandet sei:

x=3, y=x, xy=1

Überprüfen Sie an diesem Beispiel den Satz von Green, indem Sie sowohl das Kurven- als auch das Flächenintegral berechnen.


Für das Flächenintegral gilt:

[mm] \integral\integral_{B}{\bruch{\partial v_2}{\partial x}-\bruch{\partial v_1}{\partial y} dxdy} [/mm]

[mm] \bruch{\partial v_2}{\partial x}=y [/mm]

[mm] \bruch{\partial v_1}{\partial y}=-\bruch{x^2}{y^2} [/mm]

[mm] \integral\integral_{B}{(y+\bruch{x^2}{y^2}) dxdy} [/mm]

Was sind hier die Integralgrenzen?


        
Bezug
Satz von Green: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Sa 28.11.2015
Autor: fred97


> Gegeben sei das Vektorfeld v
>  
> [mm]v(x,y)=\vektor{\bruch{x^2}{y} \\ xy}[/mm]
>  
> und eine fläche, die durch diese Kurven berandet sei:
>  
> x=3, y=x, xy=1
>  
> Überprüfen Sie an diesem Beispiel den Satz von Green,
> indem Sie sowohl das Kurven- als auch das Flächenintegral
> berechnen.
>  
> Für das Flächenintegral gilt:
>  
> [mm]\integral\integral_{B}{\bruch{\partial v_2}{\partial x}-\bruch{\partial v_1}{\partial y} dxdy}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{\partial v_2}{\partial x}=y[/mm]
>  
> [mm]\bruch{\partial v_1}{\partial y}=-\bruch{x^2}{y^2}[/mm]
>  
> [mm]\integral\integral_{B}{(y+\bruch{x^2}{y^2}) dxdy}[/mm]
>  
> Was sind hier die Integralgrenzen?
>  


Hast Du Dir eine Skizze von B gemacht ? Wenn ja, so solltest Du sehen:


[mm] $B=\{(x,y) \in \IR^2: 1 \le x \le 3, \bruch{1}{x} \le y \le x\}$ [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Satz von Green: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 Sa 28.11.2015
Autor: Rebellismus


>
> Hast Du Dir eine Skizze von B gemacht ? Wenn ja, so
> solltest Du sehen:
>  
>
> [mm]B=\{(x,y) \in \IR^2: 1 \le x \le 3, \bruch{1}{x} \le y \le x\}[/mm]
>  

müsste es nicht heißen:

[mm] 0
?

meine skizze sieht so aus:

[Dateianhang nicht öffentlich]

und für die schraffierte fläche ist x auch kleiner 1

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Satz von Green: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 Sa 28.11.2015
Autor: chrisno

Die Gerade x = 3 ist falsch. Du hast y = 3 eingezeichnet.

Bezug
                                
Bezug
Satz von Green: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 Sa 28.11.2015
Autor: Rebellismus

[mm] \integral_{1}^{3}\integral_{1/x}^{x}{(y+\bruch{x^2}{y^2}) dydx} [/mm]

[mm] =\integral_{1}^{3}{[\bruch{1}{2}y^2-\bruch{x^2}{y}]_{1/x}^{x}dx}=\integral_{1}^{3}{\bruch{x^2}{2}-x-\bruch{1}{2x^2}+x^3dx} [/mm]

[mm] =[\bruch{x^3}{6}-\bruch{x^2}{2}+\bruch{1}{2x}+\bruch{x^4}{4}]_{1}^{3}=20 [/mm]

So nun ist das Kurvenintegral dran. Ich hätte den Rand von der Fläche B so parametrisiert:

[mm] \gamma(t)=\gamma_1(t)+\gamma_2(t)+\gamma_3(t) [/mm]

[mm] \gamma_1(t)=\vektor{t \\ t} [/mm] mit [mm] t\in[1;3] [/mm]  (das ist die Parametrisierung der Kurve x=y)

[mm] \gamma_2(t)=\vektor{3 \\ t} [/mm] mit [mm] t\in[\bruch{1}{3};3] [/mm]  (das ist die Parametrisierung der Kurve x=3)

[mm] \gamma_3(t)=\vektor{t \\ \bruch{1}{t}} [/mm] mit [mm] t\in[1;3] [/mm]  (das ist die Parametrisierung der Kurve xy=1)

Sind die Parametrisierungen richtig?

Bezug
                                        
Bezug
Satz von Green: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Sa 28.11.2015
Autor: fred97


> [mm]\integral_{1}^{3}\integral_{1/x}^{x}{(y+\bruch{x^2}{y^2}) dydx}[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{1}^{3}{[\bruch{1}{2}y^2-\bruch{x^2}{y}]_{1/x}^{x}dx}=\integral_{1}^{3}{\bruch{x^2}{2}-x-\bruch{1}{2x^2}+x^3dx}[/mm]
>  
> [mm]=[\bruch{x^3}{6}-\bruch{x^2}{2}+\bruch{1}{2x}+\bruch{x^4}{4}]_{1}^{3}=20[/mm]
>  
> So nun ist das Kurvenintegral dran. Ich hätte den Rand von
> der Fläche B so parametrisiert:
>  
> [mm]\gamma(t)=\gamma_1(t)+\gamma_2(t)+\gamma_3(t)[/mm]
>  
> [mm]\gamma_1(t)=\vektor{t \\ t}[/mm] mit [mm]t\in[1;3][/mm]  (das ist die
> Parametrisierung der Kurve x=y)
>  
> [mm]\gamma_2(t)=\vektor{3 \\ t}[/mm] mit [mm]t\in[\bruch{1}{3};3][/mm]  (das
> ist die Parametrisierung der Kurve x=3)
>  
> [mm]\gamma_3(t)=\vektor{t \\ \bruch{1}{t}}[/mm] mit [mm]t\in[1;3][/mm]  (das
> ist die Parametrisierung der Kurve xy=1)
>  
> Sind die Parametrisierungen richtig?

Ja

FRED


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