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Runge-Kutta-Verfahren: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:52 Mo 05.01.2015
Autor: Trikolon

Aufgabe
Leiten Sie alle Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 2 der Gestalt
0|
[mm] c_2|c_2 [/mm]
[mm] c_3|0, c_3 [/mm]
________________
0| 0 0 1

her.

Hallo,

ich hoffe man kann das obige Butcher-Schema erkennen ;-)

Folgendes habe ich mir überlegt:
Man hat ein 3-stufiges R-K-Verfahren, welches die Ordnung 2 besitzen soll.

Angewendet auf unseren Fall hat man gegeben:
[mm] k_1=f(x_m,y_m) [/mm]
[mm] k_2=f(x_m+c_2h_m,y_m+h_mc_2k_1) [/mm]
[mm] k_3=f(x_m+c_3h_m,y_m+h_mc_3k_2) [/mm]
[mm] y_{m+1}=y_m+h_mk_3 [/mm]

Also [mm] F=k_3=f+c_3hf_x+c_3hf_yf+c_3c_2h^2f_xf_y+c_2c_3f_y^2f+O(h^2) [/mm]
(mit [mm] h_m=h) [/mm]

Für das Residuum ergibt sich:

[mm] R_m=F-\bruch{y(x_{m+1})-y(x_m)}{h} [/mm]

Nach Anwendung der Taylorformel ergibt sich:

[mm] R_m=h/2(2c_3-1)f_x+h/2(2c_3-1)ff_y+h^2(c_3c_2)f_xf_y+h^2(c_2c_3)f_y^2f [/mm]

Also ist [mm] c_3=1/2 [/mm] und [mm] c_2=0 [/mm]

Ich wäre super dankbar, wenn ihr mal drüber schauen könntet!

        
Bezug
Runge-Kutta-Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:24 Di 06.01.2015
Autor: Trikolon

Ich glaube,  ich habe irgendwo einen Fehler gemacht.  Denn in der Aufgabenstellung steht jaALLE Runge Kutta Verfahren.  Bei mir gibt's aber nur eines.... Seht ihr den Fehler?

Bezug
                
Bezug
Runge-Kutta-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 Di 06.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Trikolon,

> Ich glaube,  ich habe irgendwo einen Fehler gemacht.  Denn
> in der Aufgabenstellung steht jaALLE Runge Kutta Verfahren.
>  Bei mir gibt's aber nur eines.... Seht ihr den Fehler?  


Aus dem [mm]R_{m}[/mm] ist doch nur [mm]c_{3}[/mm] bestimmbar.
[mm]c_{2}[/mm] hingegen ist hieraus nicht bestimmbar
(quadratischer Anteil von h) und somit frei wählbar.


Gruss
MathePower

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Runge-Kutta-Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:34 Di 06.01.2015
Autor: Trikolon

Ok, danke für die Rückmeldung.  Kannst du mal ueber meine Rechnung drüber schauen,  wogenau dder Fehler ist. Denn bei mir würde aus den Gleichungen ja [mm] c_2=0 [/mm] folgen.

Bezug
                                
Bezug
Runge-Kutta-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Di 06.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Trikolon,


> Ok, danke für die Rückmeldung.  Kannst du mal ueber meine
> Rechnung drüber schauen,  wogenau dder Fehler ist. Denn
> bei mir würde aus den Gleichungen ja [mm]c_2=0[/mm] folgen.


Der quadratische Term in h bei [mm]R_{m}[/mm] stimmt ja auch..

Daraus würde dann folgen , wie Du herausbekommen hast, [mm]c_{2}=0[/mm].


Gruss
MathePower

Bezug
                                        
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Runge-Kutta-Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Di 06.01.2015
Autor: Trikolon

Aber  dann wäre es doch nicht frei wählbar,  oder? ist meine Rechnung sonst soweit  ok *  auch formal?

Bezug
                                                
Bezug
Runge-Kutta-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Di 06.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Trikolon,

> Aber  dann wäre es doch nicht frei wählbar,  oder? ist


Falls das Residuum stimmt, ja.


> meine Rechnung sonst soweit  ok *  auch formal?


Wie Du auf das Residuum gekommen bist, ist mir schleierhaft.
Dasselbe gilt für das F.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                        
Bezug
Runge-Kutta-Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:34 Di 06.01.2015
Autor: Trikolon

Naja, für das F habe ixh einfach in die Formel eingesetzt.  [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] sind ja 0. Und für das Residuum auch nur in die Formel eingesetzt, die ich oben angegeben habe. Wie wuerdest du es denn machen?

Bezug
                                                                
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Runge-Kutta-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Di 06.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Trikolon,

> Naja, für das F habe ixh einfach in die Formel eingesetzt.
>  [mm]b_1[/mm] und [mm]b_2[/mm] sind ja 0. Und für das Residuum auch nur in
> die Formel eingesetzt, die ich oben angegeben habe. Wie
> wuerdest du es denn machen?


Ich habe für F  die exakte Lösung angesetzt,
denn das Residuum ist die Differenz von der
exakten zur angenäherten Lösung.

[mm]F=\bruch{y\left(x_{m+1}\right)-y\left(x_{m}\right)}{h} \approx y'\left(x_{m}\right)+\bruch{h}{2}*y''\left(x_{m}\right)+\bruch{h^2}{6}*y'''\left(x_{m}\right)[/mm]


Gruss
MathePower

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Runge-Kutta-Verfahren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:35 Di 06.01.2015
Autor: Trikolon

Nun ja, bei uns ist das F definiert als [mm] F(x_m,y_m,h_m)=\summe_{j=1}^{s}b_jk_j [/mm] Und das Residuum R ist so definiert, wie ich es im ersten Post geschrieben hatte. Und das hatte ich halt angewendet. Wo könnte der Fehler denn noch stecken?

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