matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und GrenzwerteReihe mit n^n und (n+1)!
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Folgen und Grenzwerte" - Reihe mit n^n und (n+1)!
Reihe mit n^n und (n+1)! < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Reihe mit n^n und (n+1)!: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 So 19.10.2014
Autor: o9546403

Aufgabe
a(n) = [mm] \bruch{2^{n+1}\*n^{n}\*(n+1)!}{2^{n}\*n!\*(n+1)^{n+1}} [/mm]

Hallo allerseits,

Ich soll den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] von der obigen Reihe bestimmen, leider komme ich nicht sehr weit :/

Mir ist bewusst, dass ich [mm] 2^{n+1)} [/mm] mit [mm] 2^{n} [/mm] zu [mm] \bruch{2}{1} [/mm] kürzen kann, aber danach fehlt mir jeglicher Ansatz. Mich verwirrt hier insbesondere die !, soweit ich verstanden habe gilt aber [mm] n^{n} [/mm] > n!

Es wäre sehr lieb von euch, wenn mir jemand den Ansatz erklären könnte, in der Hoffnung, dass ich die restliche Rechnung selbst hinbekomme :-)

LG,
Dennis

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Reihe mit n^n und (n+1)!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 So 19.10.2014
Autor: abakus


> a(n) =
> [mm]\bruch{2^{n+1}\*n^{n}\*(n+1)!}{2^{n}\*n!\*(n+1)^{n+1}}[/mm]
> Hallo allerseits,

>

> Ich soll den [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] von der obigen
> Reihe bestimmen, leider komme ich nicht sehr weit :/

>

> Mir ist bewusst, dass ich [mm]2^{n+1)}[/mm] mit [mm]2^{n}[/mm] zu
> [mm]\bruch{2}{1}[/mm] kürzen kann, aber danach fehlt mir jeglicher
> Ansatz. Mich verwirrt hier insbesondere die !, soweit ich
> verstanden habe gilt aber [mm]n^{n}[/mm] > n!

Hallo,
es gilt n!=1*2*3*...*n.
Entsprechend gilt (n+1)!=1*2*3*...*n *(n+1).
Somit kürzt sich [mm] $\frac{(n+1)!}{n!}$ [/mm] fast vollständig.
Was den Rest betrifft: Kennst du die Definition der Eulerschen Zahl e als Grenzwert?
Gruß Abakus
>

> Es wäre sehr lieb von euch, wenn mir jemand den Ansatz
> erklären könnte, in der Hoffnung, dass ich die restliche
> Rechnung selbst hinbekomme :-)

>

> LG,
> Dennis

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Bezug
                
Bezug
Reihe mit n^n und (n+1)!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:12 So 19.10.2014
Autor: o9546403

Hallo Abakus,

erstmal vielen lieben Dank, dass du mir hilfst :-)

Ich bin jetzt bei [mm] \bruch{2\*n^{n}}{(n+1)^{n}}, [/mm] soweit müsste doch alles stimmen?

e als Grenzwert bzw. die Herleitung sagen mir leider nichts. Die Recherche bei Google bringt einige Beispiele, verstanden habe ich sie aber nicht :(

LG,

Bezug
                        
Bezug
Reihe mit n^n und (n+1)!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 So 19.10.2014
Autor: M.Rex

Hallo

> Hallo Abakus,

>

> erstmal vielen lieben Dank, dass du mir hilfst :-)

>

> Ich bin jetzt bei [mm]\bruch{2\*n^{n}}{(n+1)^{n}},[/mm] soweit
> müsste doch alles stimmen?


In der Tat:

$ [mm] a_{n}=\frac{2^{n+1}\cdot n^{n}\cdot(n+1)!}{2^{n}\cdot n!\cdot(n+1)^{n+1}} [/mm] $
$ [mm] =\frac{2\cdot n^{n}}{(n+1)^{n}} [/mm] $

Nun wende mal ein Potenzgesetz an, sowohl im Zähler als auch im Nenner taucht ein "hoch n" auf.
Ziehe dann mal die 2 noch vor den Bruch.
Danach ergänze im Zähler n zu n+1-1, und teile die Klammer in zwei Brüche auf, den ersten solltest du dann zu 1 kürzen können

>

> e als Grenzwert bzw. die Herleitung sagen mir leider
> nichts.

Weisst du, dass
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e [/mm]
und, das brauchst du hier:
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=\frac{1}{e} [/mm]

generell gilt:
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^{n}=e^{\alpha} [/mm]

Marius

Bezug
                                
Bezug
Reihe mit n^n und (n+1)!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 So 19.10.2014
Autor: o9546403

Hallo Marius,

Danke für die tolle Erklärung, ich habe die Umformungen verstanden, es ist halt immer schwer auf so eine (m. M. n. :-) ) komplexe Umformung zu kommen.



Ich hätte noch eine Frage, da ich ein anderes Ergebnis bekomme:



Aus [mm] 2\*(\bruch{n+1-1}{n+1})^{n} [/mm] folgt [mm] 2\*(\bruch{n+1}{n+1}-\bruch{1}{n+1})^{n}, [/mm]

wie du erwähnt hattest kürzen sich [mm] (\bruch{n+1}{n+1}) [/mm] zu 1.

der Term, welcher übrig bleibt ist dann aber: [mm] 2\*(1-\bruch{1}{n+1})^{n} [/mm]

und nicht [mm] 2\*(1-\bruch{1}{n})^{n} [/mm]



Oder habe ich da irgendwo einen Fehler eingebaut?

LG,
Dennis

Bezug
                                        
Bezug
Reihe mit n^n und (n+1)!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 So 19.10.2014
Autor: leduart

Hallo
[mm] (\bruch{n}{n+1})^n=\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^n} [/mm]
übrigens: das ist eine Folge, keine Reihe!
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Reihe mit n^n und (n+1)!: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:40 So 19.10.2014
Autor: abakus


> Hallo

>

> > Hallo Abakus,
> >
> > erstmal vielen lieben Dank, dass du mir hilfst :-)
> >
> > Ich bin jetzt bei [mm]\bruch{2\*n^{n}}{(n+1)^{n}},[/mm] soweit
> > müsste doch alles stimmen?

>
>

> In der Tat:

>

> [mm]a_{n}=\frac{2^{n+1}\cdot n^{n}\cdot(n+1)!}{2^{n}\cdot n!\cdot(n+1)^{n+1}}[/mm]

>

> [mm]=\frac{2\cdot n^{n}}{(n+1)^{n}}[/mm]

>

> Nun wende mal ein Potenzgesetz an, sowohl im Zähler als
> auch im Nenner taucht ein "hoch n" auf.
> Ziehe dann mal die 2 noch vor den Bruch.
> Danach ergänze im Zähler n zu n+1-1, und teile die
> Klammer in zwei Brüche auf, den ersten solltest du dann zu
> 1 kürzen können

>

> >
> > e als Grenzwert bzw. die Herleitung sagen mir leider
> > nichts.

>

> Weisst du, dass
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e[/mm]
> und, das brauchst du hier:

>

> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=\frac{1}{e}[/mm]

Hallo,
es geht auch ohne die Kenntniss dieses Grenzwertes für 1/e.
Wer nur ansatzweise davon gehört hat, kennt wahrscheinlich nur den "Einstieg" 
[mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e[/mm], was sich auch als [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}=e[/mm] oder nach Potenzgesetzen als [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^n}{n^n}=e[/mm]
Im vorliegenden Term des Fragestellers kommt das nun gerade mit vertauschtem Zähler und Nenner vor, woraus sich das Reziproke [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+1)^n}=\frac1e[/mm] ergibt.

Gruß Abakus

>

> generell gilt:

>

> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^{n}=e^{\alpha}[/mm]

>

> Marius

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]