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Reihe: Korrektur einer Klausuraufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:01 Mo 04.07.2016
Autor: Pingumane

Aufgabe
Berechnen Sie

[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{2^{2k}}{9^{k+1}} [/mm]

Meine Rechnung:

[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{2^{2k}}{9^{k+1}} [/mm]

= [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{9} \bruch{4^{k}}{9^{k}} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{9} \summe_{k=1}^{n} (\bruch{4}{9})^{k} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{9} \summe_{k=0}^{n-1} (\bruch{4}{9})^{k+1} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{9} \summe_{k=0}^{n-1} (\bruch{4}{9})^{k} (\bruch{4}{9})^{1} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{9} \bruch{4}{9} \summe_{k=0}^{n-1} (\bruch{4}{9})^{k} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{9} \bruch{4}{9} \bruch{1-(\bruch{4}{9})^{n+1}}{1-\bruch{4}{9}} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{9} \bruch{4}{9} \bruch{1-(\bruch{4}{9})^{n+1}}{\bruch{5}{9}} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{9} \bruch{4}{9} \bruch{9}{5} (1-(\bruch{4}{9})^{n+1}) [/mm]

= [mm] \bruch{4}{45} (1-(\bruch{4}{9})^{n+1}) [/mm]

= [mm] \bruch{4}{45} [/mm] - [mm] \bruch{4}{45} (\bruch{4}{9})^{n+1} [/mm]


Die Lösung lautet jedoch

[mm] \bruch{4}{45} [/mm] - [mm] \bruch{1}{5} (\bruch{4}{9})^{n+1} [/mm]

Aber ich kann meinen Fehler nicht finden. Kann mir jemand weiterhelfen?


Liebe Grüße,
Pingumane

        
Bezug
Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 Mo 04.07.2016
Autor: huddel


> Berechnen Sie
>  
> [...]

>

> = [mm]\bruch{1}{9} \bruch{4}{9} \summe_{k=0}^{n-1} (\bruch{4}{9})^{k}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{1}{9} \bruch{4}{9} \bruch{1-(\bruch{4}{9})^{n+1}}{1-\bruch{4}{9}}[/mm]
>  
> [...]
>  

schau dir diese Gleichung noch einmal genauer an :)
(Hinweis: bis wohin geht die Summe und was sollte im Exponenten von [mm] $\frac{4}{9}$ [/mm] stehen?)

>
> Die Lösung lautet jedoch
>  
> [mm]\bruch{4}{45}[/mm] - [mm]\bruch{1}{5} (\bruch{4}{9})^{n+1}[/mm]
>  
> Aber ich kann meinen Fehler nicht finden. Kann mir jemand
> weiterhelfen?
>  
>
> Liebe Grüße,
>  Pingumane


Bezug
                
Bezug
Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:22 Mo 04.07.2016
Autor: Pingumane

Ah danke sehr! Da muss natürlich n stehen :)

Bezug
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