matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, KörperRechnen mit Gruppen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Rechnen mit Gruppen
Rechnen mit Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Rechnen mit Gruppen: Tipp / Korrektur
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:20 Do 02.07.2015
Autor: riju

Aufgabe
Berechnen Sie
a) [mm] 100^{61}[/mm]  [mm] (mod 61) [/mm]
b) [mm] ((1247)(132))^{62} [/mm]
[mm] c)ord(-0,2+\IZ) [/mm] in der Faktorgruppe von [mm] \IQ [/mm] nach [mm] \IZ [/mm]

Hallo,
ich bereite mich gerade auf ein Testat vor und möchte dafür die oben genannte Aufgabe lösen.

zu a) ich nehme mal an, dass es sich um die Gruppe [mm] (\IZ_{61},\*) [/mm] handelt.
die Ordnung der Gruppe ist [mm] ord(\IZ_{61})=61 [/mm]
somit kann ich hier den kleinen fermatschen Satz anwenden: [mm] a^{ord(G)}=e [/mm]
somit ist [mm] 100^{61}=1[/mm]  [mm] (mod 61) [/mm]

Ist das richtig?

bei b) und c) habe ich leider keine Ahnung wie ich vorgehen soll.
Könnt ihr mir vllt da einen Tipp geben?
Wir haben leider in der Vorlesung dafür keine Beispiele

Vielen Dank

Liebe Grüße
riju

        
Bezug
Rechnen mit Gruppen: zu a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:02 Do 02.07.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Berechnen Sie
>  a) [mm]100^{61}[/mm]  [mm](mod 61)[/mm]

> zu a) ich nehme mal an, dass es sich um die Gruppe
> [mm](\IZ_{61},\*)[/mm] handelt.

ich kenne Eure Notationen nicht, aber ich würde wenigstens

    [mm] $(\IZ^\times_{61},\*)$ [/mm]

schreiben.

>  die Ordnung der Gruppe ist [mm]ord(\IZ_{61})=61[/mm]

Nein, das wäre die von [mm] $(\IZ_{61},+)$. [/mm] 61 ist aber Primzahl, daher ist die Ordnung
der obigen multiplikativen Gruppe einfach =61-1=60.
("Entfernung der *störenden Null*.")

>  somit kann ich hier den kleinen fermatschen Satz anwenden:
> [mm]a^{ord(G)}=e[/mm]
>  somit ist [mm]100^{61}=1[/mm]  [mm](mod 61)[/mm]
>  
> Ist das richtig?

Das ist nun ein Folgefehler: Wir wissen nun

    [mm] $100^{60} \equiv [/mm] 1$ mod 61,

oder wegen $100 [mm] \equiv [/mm] 39 [mm] \equiv [/mm] 1$ mod 61:

    $1 [mm] \equiv 100^{60} \equiv 39^{60}$ [/mm] mod 61

also

    [mm] $100^{61}\equiv 39*39^{60} \equiv [/mm] 39*1=39$ mod 61.

Ich mag' es, sowas auch nochmal mit einem Rechner/Programm nachzu-
kontrollieren:

Wenn man das etwa mit Octave testen will, musst Du beachten, dass
dort die Exponenten zu groß werden (teste einfach mod(100^(61),61),
dann spuckt Octave 0 raus, und dann müsste bei mod(100^(61)+1,61) halt
1 rauskommen, aber es kommt wieder 0 raus).

Daher kann man sich folgende Schleife schreiben (naiv programmiert - es
gibt intelligentere Rechenmethoden):
1: z0 = mod(100,61);
2: z(1)=z0;
3: for k=2:61
4:   z(k)=mod(z(k-1)*z(1),61);
5: end
6: fprintf(['\n\nAusgabe von mod(z^61,61): ',num2str(z(61)),' \n']);


P.S. z(k) gibt Dir dort an, was [mm] $100^k \equiv 39^k$ [/mm] mod 61 ist. Test:
z(3) hat den Wert 27. Nun ist in der Tat

    [mm] $100^3 \equiv 39^3=1521*39 \equiv [/mm] 57*39=2223 [mm] \equiv [/mm] 27$ mod 61.

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Rechnen mit Gruppen: zu b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 Do 02.07.2015
Autor: riju


> Berechnen Sie

b) [mm]((1247)(132))^{62}[/mm]

Ich rechne erstmal [mm] (1247)(132) [/mm]:

[mm](1247)(132)=(1347) [/mm] (wir rechnen von hinten nach vorn)

Für Permutationen p der Länge k gilt [mm] p^{k-1}=id [/mm] und [mm] p^{k} =p[/mm]

[mm] (1347)^{62}=(1347)^{3*20+2}=((1347)^{3})^{20}(1347)^{2}=(id)^{20}(1347)^{2}=(1347)(1347)=(14)(37) [/mm]

Ist das richtig?

Bezug
                
Bezug
Rechnen mit Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:15 Fr 03.07.2015
Autor: felixf

Moin!

> > Berechnen Sie
>  
> b) [mm]((1247)(132))^{62}[/mm]
>  
> Ich rechne erstmal [mm](1247)(132) [/mm]:
>  
> [mm](1247)(132)=(1347)[/mm] (wir rechnen von hinten nach vorn)

[ok]

> Für Permutationen p der Länge k gilt [mm]p^{k-1}=id[/mm] und [mm]p^{k} =p[/mm]

Das kann nicht stimmen: wenn du $p = (1 2)$ nimmst -- hier ist $k = 2$ -- dann ist [mm] $p^{k-1} [/mm] = p [mm] \neq [/mm] id$ und [mm] $p^k [/mm] = [mm] p^2 [/mm] = id$.

Allgemein gilt: [mm] $p^k [/mm] = id$ und [mm] $p^{k+1} [/mm] = p$.

> [mm](1347)^{62}=(1347)^{3*20+2}=((1347)^{3})^{20}(1347)^{2}=(id)^{20}(1347)^{2}=(1347)(1347)=(14)(37)[/mm]
>  
> Ist das richtig?

Jein. Da $62 [mm] \bmod [/mm] 4 = 2 = 62 [mm] \bmod [/mm] 3$ ist, kommt das richtige heraus. Der Rechenweg dorthin ist jedoch nicht ganz korrekt.

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Rechnen mit Gruppen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Sa 04.07.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]