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Rand, Inneres, Kompakt: Augabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:39 Sa 06.09.2014
Autor: Babybel73

Hallo zusammen

Folgende Aufgabe sollte ich lösen:
Gebe für die Mengen
a) S:={ [mm] (x,y)\in \IR^2: x^2+y^2=2 [/mm] } [mm] \subset \IR^2 [/mm]
b) M={ [mm] (x,y)\in \IR^2: e^{x^2+y^2}=2 [/mm] }
jeweils den Rand und das Innere an & untersuche ob S kompakt ist.


Also ich habe nun für das Innere & den Rand folgendes erhalten:
a) [mm] \partial [/mm] S=S & S° [mm] =\emptyset [/mm]
b) [mm] \partial [/mm] S=S & S° [mm] =\emptyset [/mm]


Nun mit der Kompaktheit habe ich noch so meine Mühe.
Es gilt doch: (Heine Borell) K kompakt [mm] \gdw [/mm] K abgeschlossen & beschränkt (in [mm] \IR^n [/mm] & [mm] \IC^n, n\in\IN) [/mm]

Ich denke mal diese 2 Mengen sind beide kompakt. (oder?)
Begründung: Da die Mengen beide nur aus ihren Randpunkten bestehen, ist die Menge abgeschlossen & beschränkt und somit kompakt.

Stimmt/Reicht das so?

Liebe Grüsse
Babybel

        
Bezug
Rand, Inneres, Kompakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:51 Sa 06.09.2014
Autor: MaslanyFanclub

Hallo,

> Hallo zusammen
>  
> Folgende Aufgabe sollte ich lösen:
> Gebe für die Mengen
>  a) S:= [mm]\{ (x,y)\in \IR^2: x^2+y^2=2 \subset \IR^2 \}[/mm]
>  b) M=
> [mm]\{ (x,y)\in \IR^2: e^{x^2+y^2}=2 \} [/mm]
>  jeweils den Rand und das Innere an & untersuche ob S
> kompakt ist.
>
>
> Also ich habe nun für das Innere & den Rand folgendes
> erhalten:
> a) [mm]\partial[/mm] S=S & S° [mm]=\emptyset[/mm]
>  b) [mm]\partial[/mm] S=S & S° [mm]=\emptyset[/mm]
>  
>
> Nun mit der Kompaktheit habe ich noch so meine Mühe.
> Es gilt doch: (Heine Borell) K kompakt [mm]\gdw[/mm] K abgeschlossen
> & beschränkt (in [mm]\IR^n[/mm] & [mm]\IC^n, n\in\IN)[/mm]
>  
> Ich denke mal diese 2 Mengen sind beide kompakt. (oder?)

Ja.

>  Begründung: Da die Mengen beide nur aus ihren Randpunkten
> bestehen, ist die Menge abgeschlossen & beschränkt und
> somit kompakt.
>
> Stimmt/Reicht das so?

Die Begründung ist falsch.
Randpunkt hat nicht sonderlich viel mit Beschränktheit zu tun.
Z.B. ist $ [mm] \{n \in \mathbb N \} \subseteq \mathbb [/mm] R$ sein eigener Rand  aber definitiv nicht beschränkt.

Zeichne doch mal die Mengen, spätestens dann sollte eine Schranke ersichtlich werden.

> Liebe Grüsse
>  Babybel  


Bezug
                
Bezug
Rand, Inneres, Kompakt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:03 Sa 06.09.2014
Autor: Babybel73

Hallo MaslanyFanclub

Aber für die Abgeschlossenheit stimmt dies schon mit den Randpunkten, oder?
Also ich habe die Menge gezeichnet, und es ist einfach ein Kreis bei
a) mit Radius [mm] \wurzel{2} [/mm]
b) mit Radius [mm] \wurzel{ln(2)} [/mm]

Es ist ja klar das es beschränkt ist. Aber wie formuliere ich das jetzt mathematisch korrekt?

Liebe Grüsse
Babybel

Bezug
                        
Bezug
Rand, Inneres, Kompakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:08 Sa 06.09.2014
Autor: MaslanyFanclub


> Hallo MaslanyFanclub
>  
> Aber für die Abgeschlossenheit stimmt dies schon mit den
> Randpunkten, oder?

Ja

> Also ich habe die Menge gezeichnet, und es ist einfach ein
> Kreis bei
> a) mit Radius [mm]\wurzel{2}[/mm]
>  b) mit Radius [mm]\wurzel{ln(2)}[/mm]

Ja.

> Es ist ja klar das es beschränkt ist. Aber wie formuliere
> ich das jetzt mathematisch korrekt?

Wie ist denn Beschränktheit definiert?

> Liebe Grüsse
>  Babybel  


Bezug
                                
Bezug
Rand, Inneres, Kompakt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:06 Sa 06.09.2014
Autor: Babybel73

Hallo MaslanyFanclub
>  >  
> > Aber für die Abgeschlossenheit stimmt dies schon mit den
> > Randpunkten, oder?
> Ja
>  > Also ich habe die Menge gezeichnet, und es ist einfach

> ein
> > Kreis bei
> > a) mit Radius [mm]\wurzel{2}[/mm]
>  >  b) mit Radius [mm]\wurzel{ln(2)}[/mm]
>  Ja.
>  > Es ist ja klar das es beschränkt ist. Aber wie

> formuliere
> > ich das jetzt mathematisch korrekt?
> Wie ist denn Beschränktheit definiert?

Also die Definition lautet:
Eine Teilmenge M eines metrischen Raums (X,d) heisst beschränkt [mm] \gdw \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] X [mm] \exists [/mm] r >0: M [mm] \in B_r(a) [/mm]

Das heisst meine Menge muss in einer Kugel mit endlichem Radius enthalten sein. Als Radius könnte ich  z.B. 3 wählen.
Stimmt das so?

Liebe Grüsse
Babybel


>  > Liebe Grüsse

>  >  Babybel  
>  


Bezug
                                        
Bezug
Rand, Inneres, Kompakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Sa 06.09.2014
Autor: MaslanyFanclub


> Hallo MaslanyFanclub
>  >  >  
> > > Aber für die Abgeschlossenheit stimmt dies schon mit den
> > > Randpunkten, oder?
> > Ja
>  >  > Also ich habe die Menge gezeichnet, und es ist

> einfach
> > ein
> > > Kreis bei
> > > a) mit Radius [mm]\wurzel{2}[/mm]
>  >  >  b) mit Radius [mm]\wurzel{ln(2)}[/mm]
>  >  Ja.
>  >  > Es ist ja klar das es beschränkt ist. Aber wie

> > formuliere
> > > ich das jetzt mathematisch korrekt?
> > Wie ist denn Beschränktheit definiert?
>  
> Also die Definition lautet:
>  Eine Teilmenge M eines metrischen Raums (X,d) heisst
> beschränkt [mm]\gdw \exists[/mm] a [mm]\in[/mm] X [mm]\exists[/mm] r >0: M [mm]\in B_r(a)[/mm]

Ich werde jetzt mal zu deinen Gunsten annehmen, dass dir [mm] der$\LaTeX$-Befehl [/mm] für Teilmenge unbekannt ist:
[mm] \subseteq [/mm]
Ferner nehme ich M=X an.

>  Das heisst meine Menge muss in einer Kugel mit endlichem
> Radius enthalten sein. Als Radius könnte ich  z.B. 3
> wählen.
>  Stimmt das so?

Könntest du. Oder einfach die Zahlen die oben stehen.

> Liebe Grüsse
>  Babybel
>
>
> >  > Liebe Grüsse

>  >  >  Babybel  
> >  

>  


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