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R abgeschlossen und beschränkt: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:05 Mi 22.10.2014
Autor: mariem

Hallo!!!

Ich lese gerade den Beweis des Satzes:

R ist irgendein Rechteck, dann [mm] m^{\star}(R)=v(R) [/mm]
(Das äußere Maß ist gleich der Volumen des Rechteckes)

Der Beweis fängt mit den Satz:

"Es reicht wenn wir annehmen dass R abgeschlossen und beschränkt ist."

an. Warum kann man das annehmen?



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.




        
Bezug
R abgeschlossen und beschränkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:52 Mi 22.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo!!!
>  
> Ich lese gerade den Beweis des Satzes:
>  
> R ist irgendein Rechteck, dann [mm]m^{\star}(R)=v(R)[/mm]
> (Das äußere Maß ist gleich der Volumen des Rechteckes)
>  
> Der Beweis fängt mit den Satz:
>
> "Es reicht wenn wir annehmen dass R abgeschlossen und
> beschränkt ist."
>  
> an. Warum kann man das annehmen?

vielleicht kannst Du ein wenig mehr dazu sagen: Wie habt ihr denn das
Volumen definiert?
Was weißt Du über das äußere Maß (Definition, Sätze,...)?

Wir können ja schlecht raten, welche Grundlagen ihr habt...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
R abgeschlossen und beschränkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:46 So 26.10.2014
Autor: mariem


> Wie habt ihr denn das Volumen definiert?


Wenn [mm] R^d [/mm] ein Rechteck ist, also [mm] R=\Pi_{k=1}^d I_k, I_k [/mm] sind irgendwelche Intervalle, dann ist das Volumen v(R) das Produkt der Intervalllängen.


>  Was weißt Du über das äußere Maß (Definition, Sätze,...)?


Das äußere Maß ist [mm] m^{\star}(A)=\inf\{\sum_{n=1}^{+\infty} v(R_n):A \subset \cup_{i=1}^{+\infty}R_n, R_n \text{ offene Rechtecke } \} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
R abgeschlossen und beschränkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:45 Di 28.10.2014
Autor: mariem

"Es reicht wenn wir annehmen dass R abgeschlossen und beschränkt ist."

Bedeutet das, dass wir zeigen müssen dass der Satz auch gilt wenn R nicht abgeschlossen und beschränkt ist ?

Bezug
                                
Bezug
R abgeschlossen und beschränkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:38 Di 28.10.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> "Es reicht wenn wir annehmen dass R abgeschlossen und beschränkt ist."
>
> Bedeutet das, dass wir zeigen müssen dass der Satz auch
> gilt wenn R nicht abgeschlossen und beschränkt ist ?

Nein.
Aber für folgende Fälle ist die Aussage trivial:

1.) R unbeschränkt
2.) R offen

(warum? Zeige es!)

D.h. sei R nun weder unbeschränkt noch offen, d.h. R ist beschränkt und nicht offen.

3.) R ist abgeschlossen
4.) R ist weder offen noch abgeschlossen, dann lässt sich R aber darstellen als disjunkte Vereinigung von abgeschlossenen und offenen Rechtecken (warum?), d.h. den Fall haben wir mit 2.) und 3.) schon abgefrühstückt.

Gruß,
Gono

Bezug
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